Задачи средней трудности. В1. К ползуну, который может перемещаться по направля­ющей рейке (рис

В1. К ползуну, который может перемещаться по направля­ющей рейке (рис. 11.8), прикреплен шнур, продетый через кольцо. Шнур выбирают со скоростью υ. С какой скоростью и дви­жется ползун в момент, когда шнур составляет с направля­ющей угол a?

В2. Лодка подтягивается к высокому берегу озера при помощи веревки, которую наматывают с постоянной ско­ростью υ = 1 м/с на цилиндри­ческий барабан, находящийся на высоте h = 6 м над уровнем воды (рис. 11.9). Найти зависи­мость скорости лодки υ_л от длины веревки l. Найти также скорость лодки в момент вре­мени, когда l = 10 м, и пере­мещение лодки из этого поло­жения за время t = 1с.

Рис. 11.9 Рис. 11.10

В3. Веревку, привязанную к лодке, тянут за свободный конец таким образом, чтобы она не провисала (рис. 11.10). Лодка движется с постоянной скоростью υ,образуя в некоторый момент времени угол a с отрезком веревки, нахо­дящимся между столбом и лодкой. С какой скоростью нужно тянуть в этот момент времени свободный конец веревки?

В4.Груз поднимают вверх с помощью веревок, перекинутых через два неподвижных блока (рис. 11.11). Определить скорость груза в тот момент, когда угол, между верев­ками равен 2a. Скорость "выбира­ния" веревок постоянна и равна υ.

В5. Толпа муравьев волочит кусочек коры в форме рав­ностороннего треугольника. Известно, что в некоторый мо­мент времени скорость вершины В равна υ и направлена вдоль АВ, а скорость вершины С направлена вдоль СВ. Найти величину скорости вершины С в тот же момент.

В6. На клин, плоскость которого составляет угол a с горизонтом (рис. 11.12), положили тело А. Какое ускорение а необходимо сообщить клину в горизонтальном направлении, чтобы «выбить» клин из-под тела, т. е. чтобы тело А свободно падало?

В7.На наклонную плоскость, со­ставляющую с горизонтом угол a, опирается стержень, который может перемещаться только по вертикали благодаря направляющему устрой­ству АВ (рис. 11.13). С какой скоростью υ поднимается стержень, если на­клонная плоскость движется влево со скоростью и?

Рис. 11.12 Рис. 11.13 Рис. 11.14

В8.Скорость груза А равна υ_A. Чему равна скорость груза В (рис. 11.14)?

В9. Прямая, образующая угол 30° с положительным направле­нием оси х и угол 60° с положительным направлением оси у дви­жется в направлении оси х со скоростью υ. С какой скоростью дви­жется точка пересечения этой прямой с осью у?

В10. Ось х движется вертикально вверх со скоростью и₁ = 1 м/с, а ось у движется вправо со скоростью и₂ = 2 м/с. С какой по величине скоростью движется точка пересечения осей?

Задачи трудные

С1. Постройте примерный график зависимости скорости точки В от времени, если скорость υ_А точки А постоянна (рис. 11.15). Найдите формулу этой зависимости, если х(0) = 0.

Рис. 11.15 Рис. 11.16 Рис. 11.17

С2.Сферический буй радиуса R привя­зан ко дну водоема (рис. 11.16). Уровень воды в водоеме поднимается со скоростью и. Какова скорость перемещения границы затопленной части буя по его поверхности в момент, когда уровень воды оказывается на h выше центра буя?

С3.Две прямые, пересекающиеся под углом a (рис. 11.17), движутся перпендикулярно самим себе со скоростями υ₁и υ₂. Определить скорость υ точки пересечения прямых.

С4.Записывая свои воспоминания, я засиделся до поздней ночи при свечах. Обе свечи одинаковой длины l я зажег одновременно и поставил, как показано на рис. 11.18. Скоро я заметил, что тень первой свечи на левой стене неподвижна, а тень вто­рой свечи на правой стене укорачивает­ся со скоростью υ. Я тут же определил, когда я останусь при одной свече, а когда – в полной темноте. Попробуйте и вы ответить на эти вопросы. d₁, d₂, d₁ заданы.

Рис. 11.18 Рис. 11.19

С5.Каким будет ответ в задаче С4,если тень на левой стене поднимается со скоростью υ₁, а на правой — опускается со скоростью υ₂?

С6. Две свечи, высоты которых в начальный момент были одинаковы и равны h, находятся на расстоянии а друг от друга. Расстояние между каждой свечой и ближайшей к ней стеной также равно а (рис. 11.19). С какой скоростью дви­жутся тени от свечей по стенам, если одна свеча сгорает за время t₁а другая – за t₂?