Метод малых перемещений

ДВИЖЕНИЕ С КИНЕМАТИЧЕСКИМИ

СВЯЗЯМИ

 

Если два движущихся тела (шарика, лодки, автомобиля) в прямом смысле этого слова связаны чем-нибудь (веревкой или жестким стержнем) между собой, то такое движение называется движением с кинематическими связями.

Почему с кинематическими? Да потому, что при таком движении кинематические величины этих тел: пути, перемещения, скорости, ускорения, – связаны между собой.

Рассмотрим, например, движение двух шариков А и В, скрепленных жестким стержнем (рис. 11.1). Скорости шариков и , вообще говоря, могут быть и не равны между собой: ¹ , но длина стержня (если он жесткий) АВ в процессе движения меняться не может. А отсюда вытекает кинематическая связь между величинами и .

В самом деле, если мы введем ось х, направленную вдоль стержня, то проекции векторов и на эту ось должны быть равны:

υАх = υВх. (11.1)

(Иначе точки А и В либо сближались, либо удалялись друг от друга.) Отсюда следует

υАcosa = υВcosb. (11.2)

Разберем решение нескольких типовых задач.

 

Неразрывность стержня (нити)

Задача 11.1. Стержень длиной l = 1,0 м шарнирно соединен с муфтами А и В, которые перемещаются по двум взаимно перпендикулярным рейкам (рис. 11.2,а). Муфта А движется с постоянной скоростью υА = 30 см/с. Найти скорость υВ муфты В в момент, когда угол ОАВ = 60°.

l = 1,0 м υА = 30 см/с ÐОАВ = a = 60° Решение. Введем ось х, сонаправленную с отрезком ВА (рис. 11.2,б). Тогда согласно формуле (11.1) υВх = υАхÞυВcos(90°– a) = υАcosa Þ
υВ = ?

Þ υВsina = υАcosa Þ υВ = υА(cosa/sina) = υАctga,

υВ = 30 см/с × ctg60° » 17 см/с.

а) б)

Рис. 11.2

 

Ответ: υВ = υАctga » 17 см/с.

СТОП! Решите самостоятельно: А1–А3, В1, В3, В5.

 

Метод малых перемещений

 

Задача 11.2. В конструкции, показанной на рис. 11.3,а, левый конец веревки закреплен. По известной скорости υА точки А определить скорость точки В в момент, когда нить образует с вертикалью угол a.

 

а) б)

Рис. 11.3

υА, a Решение. Пусть за малое время Dt точка А опустилась вниз на малое расстояние Dх ® 0, а точка В поднялась на малое расстояние Dl (рис. 11.3,б). Тогда
υВ = ?
 

, .

Пусть Dх нам известно, найдем из геометрических соображений Dl. Опустим из точки А¢ перпендикуляры А¢Е ^СА и А¢E¢^ AD. В силу малости величины Dх можно считать, что СА¢ = СЕ, а DA¢ = =A¢Е. Тогда удлинение нити слева от блока D равно сумме отрезков: ЕА + АЕ¢, каждый из которых равен ЕА = АЕ¢ = АА¢cosa = =Dxcosa. Именно на столько укоротилась нить справа от блока D, ведь общая длина нити неизменна: Dl = EA + AE¢ = 2Dxcosa.

Итак, Dl = 2Dxcosa .

Ответ: .

СТОП! Решите самостоятельно: В7, В8, С1, С2.

 

Движение теней

Задача 12.3. Человек высоты h проходит в стороне от фонаря, висящего на высоте Н над землей. Найти величину и направление скорости перемещения по земле тени от головы человека, если он идет со скоростью υ.

h, H, υ Рис. 11.4
и = ?
 

Решение. Пусть за малое время Dt ® 0 голова человека переместилась на расстояние Dx1 вправо из точки D в точку Е (рис. 11.4). Тогда тень от головы переместилась на Dx2 из точки В в точку С. Учтем, что , . Найдем связь между Dx1 и Dx2.

Рассмотрим DADE и DАВС: они подобны, тогда

.

Ответ: тень движется вправо со скоростью .

СТОП! Решите самостоятельно: С4, С5, D1.

 








Дата добавления: 2016-04-11; просмотров: 5663;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.009 сек.