ЕМКОСТЬ СИСТЕМЫ КОНДЕНСАТОРОВ

Вспомним, что при параллельном соединении общая емкость системы, состоящей из N конденсаторов вычисляется по формуле

. (9.1)

Если все емкости С_i одинаковы и равны С, то справедливо

С­_0­ = CN. (9.2)

При последовательном соединении емкость системы конденсаторов вычисляется по формуле

. (9.3)

Если все емкости С_i одинаковы и равны С, то , отсюда

. (9.4)

СТОП! Решите самостоятельно: А1–А4.

Задача 9.1. Между клеммами А и В включены конденсаторы емкостями С₁ = 1 мкФ (точно) и С₂ = 2 мкФ (точно) (рис. 9.1). Вычислить емкость системы.

С1 = 1 мкФ С2 = 2 мкФ	Рис. 9.1
С0 = ?

Решение. Будем вычислять искомую емкость последовательно.

1. Сначала вычислим емкость С' – емкость трех последовательно соединенных конденсаторов (рис. 9.2). Согласно (9.4)

(мкФ).

Рис. 9.2

2. Вычислим емкость С'' как емкость двух параллельно соединенных конденсаторов с емкостями С₂ и С':

С'' = С₂ + С' = 2 + (мкФ).

3. Вычислим емкость С''' как емкость трех последовательно соединенных конденсаторов с емкостями С₁, С'' и С₁. Согласно формуле (9.3)

(мкФ).

4. Вычислим искомую емкость нашей системы как емкость двух параллельно соединенных конденсаторов С₂ и С''':

С₀ = С₂ + С''' = 2 мкФ + мкФ = 2 мкФ.

Ответ: С₀ = 2 мкФ.

СТОП! Решите самостоятельно: А5, А6, В1, В2, С1, С3.

Задача 9.2. Вычислить емкость системы конденсаторов, показанной на рис. 9.3.

С	Рис. 9.3	Решение. Заметим, что конденсаторы 2С и 3С соединены последовательно, а конденсатор 4С подключен к ним параллельно. Поэтому нашу схему можно перерисовать в более наглядном виде (рис. 9.4). А общую емкость такой системы вычислить уже не трудно:
С0 = ?

,

,

Ответ:

СТОП! Решите самостоятельно: В4 (а, б), С4, D1.

Задача 9.3. В схеме, показанной на рис. 9.5, емкость батареи конденсаторов не изменится при замыкании ключа. Определить С_х.

С	Решение. Емкость не изменится, если после замыкания ключа все заряды останутся «на своих местах». А для этого необходимо, чтобы потенциалы точек а
Сх = ?
Рис. 9.5	и б были равны, т.е. напряжение U1 на конденсаторе Сх должно равняться напряжению на нижнем конденсаторе 2С, а напряжение U2 на верхнем конденсаторе 2С должно равняться напряжению на конденсаторе 4С. Пусть заряды конденсаторов Сх и 2С равны q1, а заряды 2С и 4С – q2. Тогда

, (1)

. (2)

Разделим почленно (1) на (2) и получим

.

Ответ: С_х = С.

СТОП! Решите самостоятельно: В5 (а–д).

«Мостик»

Задача 9.4. Определить емкость соединения конденсаторов, изображенного на рис. 9.6

С1 С2	Решение. Пусть на клеммы А и В подано напряжение U. Заметим, что в силу симметрии схемы заряды на верхнем и нижнем конден-	Рис. 9.6   Рис. 9.7
Собщ = ?
саторах С1 должны быть равны. Но тогда равны и напряжения на этих конденсаторах: . Из этого следует, что потенциалы точек т и п равны jт = jп. Значит, конденсатор С3 при включении напряжения заряжаться не будет и распределение зарядов на остальных конденсаторах никак не изменится от того, что мы вообще удалим конденсатор С3 из нашей схемы (рис. 9.7). Емкость такой схемы ,

.

Читатель: Но если потенциалы точек т и п равны мы, наверное, имеем право соединить их в одну (рис. 9.8)?

Автор: Конечно! И если мы подсчитаем емкость получившейся системы, получим тот же результат:

.

Ответ: .

СТОП! Решите самостоятельно: В6, С6, D2.

Задача 9.5. В проволочный тетраэдр включены конденсаторы так, как показано на рис. 9.9. Найти емкость данной системы.

С	Решение. Заметим, что грани ADB и АЕВ физически «равноправны», т.е. одна ничем не отличается от другой
С0 = ?
Рис. 9.9   Рис. 9.10	ни по количеству конденсаторов, ни по порядку их включения. Из этого следует, что потенциалы точек D и Е равны. А значит, конденсатор на ребре DE заряжаться не будет, и мы можем спокойно удалить его из схемы, а точки D и Е соединить в одну. Тогда нашу схему можно заменить схемой, показанной на рис. 9.10. Емкость этой схемы легко подсчитать: С' = 2С, , С0 = С + С² = С + С = 2С. Ответ: С0 = 2С.

СТОП! Решите самостоятельно: С7, С8, D3, D4.