ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Автор: Пусть имеется поле, созданное точеным зарядом Q. В этом поле другой точечный заряд q перемещается из точки 1 в точку 2 по некоторой кривой L (рис. 6.1). Как найти работу поля?

Читатель: Я не понимаю, каким образом заряд q двигался по столь замысловатой траектории? Ведь если на него ничто не действует, кроме заряда Q, а в начальный момент он покоился в точке 1, то он должен бы двигаться по прямой, соединяющей эти заряды: к заряду Q, если заряды разноименные, и от него, если они одноименные.

Автор: А никто не утверждает, что, кроме заряда Q, на заряд q ничто не действует! Вы могли бы, например, взять заряд q в руку и перенести его из точки 1 в точку 2 по любой, самой замысловатой траектории. Но нас сейчас интересует только работа силы, с которой заряд Q действует на заряд q, а работа остальных сил нам сейчас не интересна.

Читатель: Тогда надо разбить траекторию L на малые кусочки DL_i, такие, что в пределах каждого из них силу со стороны заряда Q можно считать постоянной. На каждом таком участке работа этой силы будет равна

,

а полная работа

.

Автор: Ваш подход, безусловно, правильный, но уж очень трудоемкий, если учесть, что кривая L достаточно замысловатая. Нельзя ли попроще? Ведь силовое поле, созданное зарядом Q, является центральным, то есть в каждой точке сила, действующая на заряд q, направлена так, что ее продолжение проходит через точку, в которой находится заряд Q – ЦЕНТР поля. А всякое центральное поле обладает одним очень важным свойством: работа в нем НЕ ЗАВИСИТ от формы траектории, по которой движется тело, а зависит только от начального и конечного положения тела. Докажем это.

Пусть имеется произвольное центральное поле с центром в точке О и пусть величина силы, действующей на тело, движущееся в этом поле, зависит только от расстояния r между центром поля и телом. Пусть эта зависимость имеет вид

f = f(r),

в нашем случае

f = .

Пусть тело движется по некоторой траектории из точки 1 в точку 2. Вычислим работу поля на малом перемещении (рис. 6.2).

Пусть Ds_f – проекция вектора перемещения на направление вектора силы , тогда

.

Но проекция вектора на направление действия силы в данном месте, то есть на направление радиуса-вектора, соединяющего центр поля с точкой, в которой в данный момент находится тело, равна Dr – приращению расстояния тела от точки О: Ds_f = Dr. Тогда

DА = f(r)Dr.

Работа на всем пути равна

.

Ясно, что от формы траектории эта сумма никак не зависит: она зависит только от вида функции f(r) и значений r₁ и r₂. Значит, в нашем случае работа сил поля по любой траектории, которая начинается в точке 1 и кончается в точке 2, ОДНА И ТА ЖЕ.

Читатель: Тогда надо выбрать самую простую траекторию и посчитать работу при движении по ней!

Автор: Верно!

Пусть от точки 1 до точки В заряд q движется по дуге окружности, а от точки В до точки 2 – по продолжению радиуса этой окружности (рис. 6.3). На дуге окружности работа равна нулю, так как на каждом малом перемещении : .

Остается найти работу на прямолинейном участке В2. Заметим, что на любом малом перемещении этого участка вектор силы совпадает по направлению с вектором перемещения: , поэтому работа на перемещении равна

= .

Полная работа на участке В2 равна сумме работ :

А_В2 = .

Пусть расстояние между точкой О и точкой 1 равно R₁, а расстояние между точкой О и точкой 2 равно R₂, тогда в нашей сумме r₁ = R₁, r₂ = R₂, а ® 0 для любого i. Вычислить такую сумму методами элементарной математики – задача очень непростая. Придется идти на хитрости.

1. Заметим, что r_i+1 = r_i + .

2. Поскольку ® 0, то можно приближенно считать, что r_i » » r_i + , тогда выражение для можно представить в виде:

.

3. Далее прибавим к числителю дроби и вычтем из него величину kqQr_i, получим:

.

4. Представим дробь в виде разности двух дробей:

.

5. А вот теперь вычислим нашу сумму:

А_В2 =

.

Все слагаемые, кроме первого и последнего, сократились, и ответ готов. Поскольку в наших обозначениях r₁ = R₁, а r_N = R₂, то

А_В2 = .

Читатель: Я немного знаком с такими понятиями высшей математики, как дифференцирование и интегрирование. Может быть, с помощью высшей математики эту задачу можно решить проще?

Автор: Конечно! Вот это решение:

Итак, .

Читатель: А чему будет равна работа, если заряд q вернется в исходную точку 1 (рис. 6.4)?

Автор: Согласно полученной формуле

= 0.

Вывод: работа сил электростатического поля, созданного точечным зарядом Q, по перемещению другого заряда q по замкнутой траектории равна нулю.

К этому же выводу можно придти по-другому. Если допустить, что работа сил электростатического поля по замкнутому контуру не равна нулю, то сразу же создается вечный двигатель.

Делаем желоб, по которому без трения скользит заряд q. Если А_1®1 > 0, то за полный цикл получаем положительную работу, не вкладывая в процесс никакой энергии. При этом никаких изменений в системе зарядов q и Q со временем не происходит (ведь заряды сохраняются). А это и есть вечный двигатель!

Читатель: «Силовые» возможности поля в данной точке мы охарактеризовали, введя напряженность поля, а как охарактеризовать «энергетические» возможности поля в данной точке?

Автор: Пусть поле создано зарядом Q, находящимся в точке С (рис. 6.6). Выберем некоторую точку О и назовем ее «нулевой». Возьмем некоторый пробный заряд q_пр. Тогда любой произвольной точке В можно поставить в соответствие работу по перемещению заряда q_пр из точки В в точку О. Эта работа называется потенциальной энергией заряда q_пр в точке В в поле заряда Q:

.

Пусть СВ = r, CO = R, тогда

. (6.1)

характеризует «энергетические» возможности поля в данной точке по отношению к заряду q_пр относительно «нулевой» точки О. Заметим, что если q_пр > 0 и Q > 0, то > 0 при r < R и < 0 при r > R.

Читатель: Где лучше (удобнее) взять точку О? Желательно взять ее так, чтобы в любой точке В потенциальная энергия была положительная, если q_пр > 0 и Q > 0.

Автор: Лучше всего взять нулевую точку на бесконечности. В самом деле, если R ® ¥, то . Тогда

. (6.2)

Читатель: Величина зависит от величины пробного заряда q_пр­­­. Нельзя ли ввести такую величину, которая, с одной стороны, характеризовала бы энергетические возможности поля в данной точке, а с другой стороны, не зависела бы от величины пробного заряда q_пр?

Автор: Можно. Введем величину и назовем ее потенциалом точки В. Она не зависит от q_пр и численно равна работе поля по перемещению единичного положительного заряда из точки В в точку О, выбранную в качестве «нулевой».

Потенциалом электростатического поля в данной точке называется физическая величина, равная отношению работы по перемещению пробного заряда из данной точки поля в выбранную «нулевую» точку к величине этого заряда.

. (6.3)

Для поля, созданного точечным зарядом, при выборе нулевой точки на бесконечности потенциал поля на расстоянии r от заряда j, как видно из формулы (6.2), равен

. (6.4)

Размерность потенциала:

в СИ 1 В (вольт);

в СГС = 1 СГСЭ_j;

1 СГСЭ_j = 300 В.

СТОП! Решите самостоятельно: А1, В1, В2.

Читатель: До сих пор мы говорили о потенциале поля, созданного одним зарядом. А как определить потенциал поля, созданного некоторой системой точечных зарядов: Q₁, Q₂,…, Q_п?

Автор: Потенциалом поля, созданного произвольной системой точечных зарядов, мы называем (как и в случае поля, созданного одним зарядом) отношение работы поля по перемещению пробного точечного заряда из данной точки в «нулевую» точку к величине этого заряда:

. (6.5)

Задача 6.1. Поле создано системой точечных зарядов Q₁, Q₂,…, Q_п. В точке В потенциалы полей, созданных каждым зарядом в отдельности, равны j₁, j₂,…, j_п. Найти потенциал поля в этой точке.

Q1, Q2,…, Qп j1, j2,…, jп	Решение. Пусть заряд qпр перемещают из точки В в точку О по некоторой траектории (рис. 6.7). Рассмотрим участок этой траектории, где
jВ = ?

– результирующая сила, действующая на пробный заряд на участке .

Согласно принципу суперпозиции

= ,

где – сила, действующая на пробный заряд q_пр со стороны j-го заряда Q_j. Тогда

.

Ответ:

. (6.6)

Вывод: потенциал в данной точке электростатического поля, созданного системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов полей, созданных каждым зарядом в отдельности в этой точке.

Задача 6.2. Электростатическое поле создано двумя положительными зарядами q и 2q, находящимися на расстоянии 2а друг от друга (рис. 6.8). Найти потенциалы в точках 1 и 2, если известно, что q = 1,0×10^–7 Кл, а = 1,0 см.

q = 1,0×10–7 Кл а = 1,0 см	Рис. 6.8
j1 = ? j2 = ?

Решение. Воспользуемся формулой (6.6) и получим:

В;

В.

Ответ: В; В.

СТОП! Решите самостоятельно: А3, А4, А6.

Задача 6.3. Заряды +q находятся в трех вершинах правильной треугольной пирамиды (тетраэдра) с ребром а (рис. 6.9). Найти потенциал в четвертой вершине – точке А.

а q	Решение. Каждый из трех зарядов создает в точке А поле, потенциал которого . Потенциалы этих трех полей складываются, поэтому
jА = ?

.

Ответ: .

СТОП! Решите самостоятельно: В7, В10–В12, С5.