Взаимодействие трех и более зарядов

Читатель: Предположим, что три заряда (+q, +q и +q) расположены на одной прямой (рис. 2.1) Расстояние между соседними зарядами равно а. Можно ли утверждать, что заряд 1 действует на заряд 3 с силой, определяемой законом Кулона ? Ведь между ними есть еще заряд 2, который может как-то помешать взаимодействию зарядов 1 и 3.

Рис. 2.1

Автор: Экспериментально установлено, что сила взаимодействия двух зарядов не изменяется, если вблизи них поместить еще какие-либо заряды.

Пусть имеются заряд q и заряды q₁, q₂, q₃,…, q_N. Тогда результирующая сила , с которой действуют на заряд q все N зарядов q_i, определяется формулой

, (2.1)

где – сила, с которой действует на заряд q заряд q_i в отсутствии остальных (N – 1)-го зарядов.

Задача 2.1. На одной прямой находятся заряды (–2q), +2q и +q. Расстояние между соседними зарядами а. Найти величину результирующей силы, действующей на заряд +q.

(–2q), +2q, +q а	Решение. Введем ось х (рис. 2.2). Рис. 2.2
| | = ?

Согласно формуле (2.1) результирующая сила , действующая на заряд +q, равна .

В проекции на ось х

.

Так как , то .

Ответ: .

СТОП! Решите самостоятельно: В1–В3, С1.

Задача 2.2. Два положительных заряда q и 2q закреплены неподвижно на расстоянии а друг от друга. На каком расстоянии от заряда q следует разместить заряд Q, чтобы он находился в положении равновесия?

q 2q Q a	Решение. Введем ось х (рис. 2.3). Рис. 2.3 Запишем условие равновесия для заряда Q в проекции на ось х:
x = ?

.

Решим это уравнение относительно х:

;

; .

Отрицательный корень мы отбрасываем: если заряд Q окажется левее заряда q, то в положении равновесия он находиться не сможет.

Ответ: .

Рис. 2.4

Читатель: Устойчиво ли это равновесие? Автор: Вообще говоря, нет. Если сместить заряд Q чуть-чуть перпендикулярно оси х, возникнут силы, удаляющие его от положения равновесия (рис. 2.4).

Читатель: А если заряду Q разрешить двигаться только вдоль оси х (например, посадив все заряды на гладкую проволоку)?

Автор: Тогда положение равновесия устойчиво. Допустим, мы сместились из положения равновесия вправо в точку 1 (рис. 2.5). Тогда сила вдоль оси х (со стороны заряда +q) уменьшилась, а сила против оси х (со стороны заряда +2q) возросла. Значит, равнодействующая будет направлена против оси х, и заряд Q вернется в положение равновесия. То же будет при попытке сместить заряд влево от положения равновесия в точку 2.

Рис. 2.5

СТОП! Решите самостоятельно: В4, В5, С2.

Задача 2.3. Два положительных заряда +q находятся на расстоянии а друг от друга. Найти результирующую силу, с которой они действуют на такой же заряд +q, равноудаленный на расстояние а от каждого заряда.

	Рис. 2.6
q a
R = ?

Решение. Все заряды находятся в вершинах правильного треугольника (рис. 2.6,а). Из симметрии задачи легко видеть, что результирующая сила направлена вертикально вверх (рис. 2.6,б), причем ее модуль равен , где . Отсюда

.

Ответ: .

СТОП! Решите самостоятельно: В8, В9, С7.

Задача 2.4. В четырех вершинах квадрата находятся одинаковые заряды q > 0. Какой заряд надо поместить в центр, чтобы система находилась в положении равновесия?

q	Решение. Ясно, что заряд в центре системы должен быть отрицательным (рис. 2.7,а). Из симметрии задачи очевидно, что при любых значениях q заряд Q всегда будет в равновесии, а вот заряд q – не всегда.
Q = ?
Запишем условие равновесия для одного из зарядов q: . Пусть сторона квадрата равна а (рис. 2.7,б). Тогда диагональ квадрата равна , половина диагонали . Введем ось х вдоль диагонали и запишем 2-й закон Ньютона в проекции на эту ось: . (1) Здесь ; ; .	а б Рис. 2.7

Подставим эти значения в формулу (1):

+ + – = 0,

, ,

.

Поскольку Q < 0, то .

Ответ: .

СТОП! Решите самостоятельно: С4, С10, С14.

Задача 2.5. По кольцу радиуса R, расположенному вертикально в поле тяжести Земли, могут без трения скользить одинаковые шарики массы т. Один шарик закреплен в верхней точке кольца. Два подвижных шарика имеют заряды, равные q. Найти заряд закрепленного шарика, если известно, что все шарики оказались в вершинах правильного треугольника.

q	Решение. Так как силы трения нет, сила нормальной реакции направлена по радиусу (рис. 2.8).
Q = ?
Рис. 2.8	Если незаряженный шарик неподвижен на кольце, значит, сумма проекций всех сил, действующих на него, на ось х, направленную по касательной к окружности, равна нулю. Если радиус окружности R, то сторона вписанного треугольника а = = . Запишем 2-й закон Ньютона в проекции на ось х для шарика с зарядом q: mgx + FQx + Fqx = 0,

,

= 0,

,

.

Ответ: Q = .

СТОП! Решите самостоятельно: С13(1), С13(3), С12.