Единицы измерения заряда

В системе СИ заряд измеряется в кулонах (Кл). Кулон – это производная единица от основной единицы измерения тока в СИ – ампера (А). За 1 кулон принят заряд, который проходит через поперечное сечение проводника за 1 секунду, если по нему течет ток в 1 ампер. То есть так как q = I×t, то 1 Кл = 1 А×с.

Если заряд измерять в кулонах, силу – в ньютонах, а расстояние в метрах, то коэффициент пропорциональности в законе Кулона равен k = 9×10⁹ (Н×м²)/Кл² (это экспериментальный факт). Размерность k легко получается из формулы (1.2):

.

Итак, в СИ закон Кулона имеет вид

F = 9×10⁹ . (1.4)

Задача 1.1. С какой силой притягиваются два разноименных точечных заряда величиной q = 1,0 Кл каждый, находящиеся на расстоянии r = 1,0 км друг от друга?

q = 1,0 Кл r = 1,0 км	Решение. (Н×м2)/Кл2 × » 9,0×103 Н = 9,0 кН.
F = ?

Ответ: 9,0 кН.

Как видим, величина заряда в 1 Кл очень велика, а решенная нами задача носит чисто теоретический характер: получить заряд в 1 Кл на одном небольшом теле невозможно!

Задача 1.2. Два заряда, каждый из которых состоит из М = 1,0 г электронов, находятся на расстоянии r = 1,0 км. Найти величину каждого заряда и силу их взаимодействия. Заряд электрона е = =1,6×10^–19 Кл, масса электрона т_е = 9,1×10^–31 кг.

М = 1,0×10–3 кг r = 1,0×103 м е = 1,6×10–19 Кл те = 9,1×10–31 кг	Решение. » 1,8×108 Кл.
q = ? F = ?

Н.

Ответ: » 1,8×10⁸ Кл; 2,8×10²⁰ Н.

Заметим, что собрать в одном месте столько электронов вряд ли удастся (уж очень они легкие и 1 г электронов – это очень много!).

СТОП! Решите самостоятельно: А7, А15, В5, В8.

Задача 1.3. Сколько электронов содержит кусок железа массой т = 1,0 кг? Заряд ядра атома железа z = 26.

т = 1,0 кг z = 26	Решение. Массовое число железа равно 56, значит, m = 0,056 кг/моль. пе = z × (число атомов) = = = 2,8×1026 (шт.)
пе = ?

Ответ: п_е = 2,8×10²⁶.

СТОП! Решите самостоятельно: А4, В1, В3.

Кроме СИ, существует ещесистема единиц СГС (сантиметр–грамм–секунда). В этой системе основными являются три единицы: 1 см, 1 г, 1 с. Все остальные единицы – производные. Например:

скорость [υ] = см/с,

ускорение [a] = см/с²,

сила [F] = [m][a] = (г×см)/с² = дина,

работа [A] = [F][l] = дина×см = эрг.

В системе СГС коэффициент k в законе Кулона (1.2) полагается равным 1, и закон Кулона имеет вид

. (1.5)

Отсюда легко получить единицу измерения заряда:

.

Такая удивительная единица называется единицей измерения заряда в СГС и обозначается так: = СГСЭ_q.

Задача 1.4. Два одинаковых заряда q = 1 СГСЭ_q находятся на расстоянии r = 1 см друг от друга. Какова сила их взаимодействия в СИ и в СГС?

q = 1 СГСЭq r = 1 см	Решение. =1 дина. Выразим дину в ньютонах:
F = ?

1 дина = .

Ответ: = 1 дина = 1×10^–5 Н.

СТОП! Решите самостоятельно: В14, С4.

Выясним, как связаны между собой две единицы измерения заряда: 1 Кл и 1 СГСЭ_q. Возьмем два заряда в 1 Кл и разместим их на расстоянии 1 м = 100 см. Тогда сила взаимодействия между ними будет

F = 9×10⁹ Н = 9×10⁹×(10⁵ дин) = 9×10¹⁴ дин.

В системе СГС закон Кулона в этом случае будет иметь вид

,

где q – заряд, равный заряду в 1 Кл, но в единицах СГС:

q² = 9×10¹⁴ дин×10⁴ см² = 9×10¹⁸ дин×см².

Отсюда

= 3×10⁹ СГСЭ_q.

Но поскольку q = 1 Кл (так мы положили в самом начале наших рассуждений), то

1 Кл = 3×10⁹ СГСЭ_q. (1.6)

Заметим, что в СИ закон Кулона часто записывают в виде

, (1.7)

т.е. представляют коэффициент k = 9×10⁹ (Н×м²)/Кл² в виде

k = 9×10⁹ (Н×м²)/Кл² = ,

откуда

8,84×10^–12 Кл²/(Н×м²).

Эта величина называется электрической постоянной.

В чем смысл такой замены? В удобстве. Но это удобство с первого взгляда представляется лишь дополнительным неудобством. Поэтому до поры до времени будем писать закон Кулона в виде , где k = 9×10⁹ (Н×м²)/Кл².

Задача 1.5. Два маленьких одинаковых проводящих шарика, имеющих заряды q₁ и q₂, привели в соприкосновение. Найти заряд на каждом шарике после соприкосновения. Рассмотреть случаи, когда заряды q₁ и q₂ имеют одинаковые и разные знаки.

q1 q2	Решение. 1. Пусть заряды одного знака: q1 > 0, q2 > 0 или q1 < 0, q2 < 0. Тогда суммарный заряд двух шариков по величине равен |Q| = |q1| + |q2|.
, = ?

В силу симметрии задачи он распределяется поровну между шариками:

.

Если q₁ > 0 и q₂ > 0, то = = .

Если q₁ < 0 и q₂ < 0, то

– = – = Þ = = .

2. Пусть заряды q₁ и q₂ – разных знаков. Для определенности положим: q₁ > 0, q₂ < 0.

Если |q₁| > |q₂|, тогда общий заряд шариков Q = |q₁| – |q₂| > 0. В силу симметрии

.

Если |q₁| < |q₂|, тогда общий заряд шариков Q = |q₂| – |q₁| < 0. В силу симметрии

.

Итак, при любых знаках зарядов q₁ и q₂ и любых соотношениях между величинами зарядов q₁ и q₂ после соприкосновения на шариках будут равные заряды: .

СТОП! Решите самостоятельно: В7, В17, В18, С3.

Задача 1.6. На тонкой нерастяжимой нити висит шарик массой т и зарядом q₁. Снизу на расстоянии l под ним по вертикали располагают шарик с зарядом q₂. Найти силу натяжения нити, если первый шарик остается неподвижным.

q1, q2 l, m	Решение. 1. Пусть (q1q2) < 0, т.е. шары притягиваются (рис. 1.5). Тогда 2-й закон Ньютона в проекции на ось у будет иметь вид у: Т – mg – = 0. Отсюда Т = mg + . 2. Пусть (q1q2) > 0, т.е. шары отталкиваются. Тогда
T = ?
Рис. 1.5

у: Т – mg + = 0 Þ Т = mg – .

В первом случае |q₁q₂| = –q₁q₂, а во втором |q₁q₂| = +q₁q₂, поэтому в общем случае справедлива формула

Т = mg – .

Это и есть ответ задачи.

СТОП! Решите самостоятельно: В30, В31, С14.

Задача 1.7. Два одинаковых шарика массой т подвешены на тонких нерастяжимых нитях в одной точке. Какой угол с вертикалью составят нити, если сообщить шарикам равные положительные заряды q? Расстояние между шариками равно R.

q т R	Решение. Запишем 2-й закон Ньютона в проекциях на оси х и у (рис. 1.6):
х: Fe – Tsina = 0; y: –mg + Tcosa = 0. Fe = , тогда	Рис. 1.6
a = ?

Разделив уравнение (1) на уравнение (2), получим

,

отсюда

.

Ответ: .

СТОП! Решите самостоятельно: В21, В25, С7, С8.

Задача 1.8. Два одинаковых шарика массой т и зарядом q > 0каждый, связанные тонкой нерастяжимой нитью длиной l, движутся под действием силы F, как показано на рис. 1.7. Найти ускорение шариков и силы натяжения нитей.

q т l F	Рис. 1.7 Решение. 1. Рассмотрим систему как целое. Тогда 2-й закон Ньютона в проекции на ось х (рис. 1.8) имеет вид х: F = 2ma Þ .
a = ? Т = ?
Рис. 1.8	2. Теперь рассмотрим шар 2 как отдельное тело и, применив к нему 2-й закон Ньютона, получим Т – Fe = та, отсюда

.

Ответ: ; .

СТОП! Решите самостоятельно: С16, С17.

Задача 1.9. Три шарика массой т каждый связаны тонкими нерастяжимыми нитями и движутся вертикально вверх в поле тяжести земли под действием силы F так, что нити между собой образуют угол a = 60° (рис. 1.9). Найти силы натяжения нитей, ускорение системы и длины нитей, если два нижних шарика имеют одинаковые положительные заряды q.

a = 60° q т F	Рис. 1.9	Решение. 1. Рассмотрим систему как целое. Тогда в проекции на ось у (рис. 1.10) 2-й закон Ньютона имеет вид F – 3mg = 3ma. Отсюда . (1)
l = ? Т = ? а = ?

2. Рассмотрим шарик 1 (рис. 1.10) и запишем 2-й закон Ньютона в проекциях на оси х и у:

х: Fe – Tsin30° = 0; y: Tcos30° – mg = ma. Отсюда Подставив (1) в (3), получим

Рис. 1.10

.

Теперь подставим значение Т в уравнение (2):

.

Ответ: ; ; .

СТОП! Решите самостоятельно: С18, С19.

Задача 1.10. В модели атома водорода Бора электрон вращается вокруг ядра с постоянной скоростью. Найти скорость вращения электрона, если радиус вращения ядра r = 1,0×10^–10 м.

r = 1,0×10–10 м т = 9,1×10–31 кг q = 1,6×10–19 Кл	Решение. Сила притяжения ядра сообщает электрону центростремительное ускорение , направленное к центру орбиты (рис. 1.11), тогда
υ = ?

» 1,6×10⁶ м/с.

Ответ: » 1,6×10⁶ м/с.

СТОП! Решите самостоятельно: В26, В28.

Задача 1.11. Тело массой т вращается на нити длиной l, образуя конический маятник около точечного заряда, расположенного в центре окружности. Угловая скорость w. Найти величину заряда тела, если известно, что он равен величине точечного заряда, помещенного в центре окружности.

w a т l	Решение. Запишем 2-й закон Ньютона в проекциях на оси х и у (рис. 1.12): х: Tsina – Fe = mw2r; у: Tcosa – mg = 0. Из треугольника ОО1А имеем r = lsina. Закон Кулона Fe = . Отсюда получим Подставляя значение Т из (1) в (2), найдем q:
q = ?
Рис. 1.12

.

Отсюда получаем ответ:

.

СТОП! Решите самостоятельно: В29, С12, С13.