Предел последовательности

Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого числа ε > 0 существует номер N такой, что для всех номеров n > N выполняется неравенство Ι x_n – a Ι < ε.

Неравенство Ι x_n – a Ι < ε можно переписать в следующем виде: a – ε < x_n < a + ε. Геометрически последние неравенства означают, что числа x_n принадлежат интервалу (а – ε, а + ε). Поэтому понятие предела имеет следующую геометрическую интерпретацию: число а будет являться пределом последовательности {x_n}, если для любого интервала (а – ε, а + ε) существует номер N такой, что для всех номеров, больших этого номера, соответствующие элементы последовательности обязательно будут принадлежать указанному интервалу.

Существование предела последовательности {x_n} обозначается следующим образом:

Бесконечно большие последовательности не имеют предела, поэтому принято считать, что они имеют бесконечный предел, и писать: .

Бесконечно малые последовательности имеют предел, равный нулю, т.е.: .

Последовательность называется сходящейся, если она имеет предел, и расходящейся, если она предела не имеет, или имеет бесконечный предел.

Последовательность {x_n} называется ограниченной, если существует число M > 0 такое, что для всех элементов последовательности выполняется неравенство Ι x_n Ι< M.

Для отыскания пределов различных последовательностей существуют полезные правила, справедливые только для сходящихся последовательностей.