Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости

Для вывода уравнения Бернулли используется теорема об изменения кинетической энергии - изменение кинетической энергии равно работе внешних сил (рисунок 3.10)..

Рисунок 3.10 - Силы– силы действующие на элементарную струйку

Выберем плоскость сравнения 0-0 – любая горизонтальная плоскость. Считаем, что на этой плоскости находится начало декартовой системы координат, и ось z направлена вертикально вверх. Выберем в потоке жидкости элементарную струйки и рассечем её двумя поперечными сечениями 1-1 и 2-2. Предположим, что через первое поперечное сечение 1-1 элементарной струйки за время dt заходит масса жидкости dm₁, а через второе сечение 2-2 выйдет масса dm₂. Тогда при установившемся движении эти массы должны быть равны так, как в противном случае внутри объёма между сечениями масса будет или увеличиваться или уменьшаться. Обозначим местные скорости в сечениях u, площади сечений dw и, считая жидкость несжимаемой, получим:

(3.21)

где dV - объём массы жидкости dm.

Тогда изменение кинетической энергии dЭ_кин равно

.

(3.22)

При движении от первого сечения ко второму на массу действует сила тяжести, поэтому изменение работы сил тяжести dA_тяж равно:

.

(3.23)

На поперечное сечение dw со стороны окружающей жидкости действует сила давления dP = p dw. За время dt масса частицы жидкости перемещается на расстояние dS, тогда работа, совершаемая силами давления, равна dA_дав = dP dS = p dw dS = p dV (dw dS = dV – объем частицы жидкости). Поэтому работа сил давления равна

.

(3.24)

В общем случае на боковой поверхности элементарной струйки действуют силы трения, которые противодействуют движению жидкости. В данном случае рассматривается идеальная жидкость, вязкость которой равна нулю, поэтому сил трения равны нулю и работы не совершают.

Используя теорему изменения кинетической энергии, запишем:

,

(3.25)

или

.

(3.26)

Разделим это выражение на вес частицы жидкости, которая проходит за время dt через сечение струйки, dG = g dm = ρ g dV:

.

(3.27)

Так, как сечения 1-1 и 2-2 были выбраны произвольно, то последнее уравнение можно переписать в виде:

.

(3.28)

Уравнение (3.24) или (3.25) называется уравнением Бернулли. Уравнение Бернулли в таком виде можно записать только для установившегося движения несжимаемой идеальной жидкости. Уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии – для идеальной жидкости полная энергия вдоль элементарной струйки сохраняется. В уравнения (3.24) и (3.25) входит не сама энергия, а энергия отнесённая к весу частицы жидкости, которая называется удельной энергией, поэтому каждое слагаемое в уравнении Бернулли представляет собой удельную потенциальную энергию положения, удельную потенциальную энергию давления и удельную кинетическую энергию и в системе СИ измеряется в метрах. Сумма этих энергий называется полной удельной энергией.