Уравнение неразрывности потока

Уравнение неразрывности потока представляет собой закон сохранения массы для элементарного объема потока. Выделим мысленно в потоке, в которой происходит движение однородной, сжимаемой жидкости или газа объем в виде параллелепипеда с ребрами Dx, Dy, Dz (рисунок 3.9)..1.). Найдем массу, которая входит в выделенный объем вдоль оси x за время Dt. Обозначим левую и правую грани индексами 1 и 2. Через левую грань войдет масса (r u_x)₁ Dy Dz Dt, а через правую грань войдет масса (ru_x)₂ Dy Dz Dt.

Рисунок 3.9 - Схема элемента потока

Тогда внутри объема останется масса равная разности этих масс d m_x. Если расстояние между гранями Δx устремить к нулю, то эта разность преобразуется к виду:

(3.10)

Аналогично можно найти массы, которые останутся внутри объема при движении вдоль осей y и z. Таким образом, общая масса оставшаяся внутри объема равна сумме этих масс

.

(3.11)

С другой стороны масса жидкости внутри порового пространства выделенного объема равна произведению плотности r и объема. Поэтому увеличение массы для бесконечно малого промежутка времени равно:

(3.12)

Прировняв эти массы и преобразовав полученное уравнение, получим дифференциальное уравнение неразрывности потока:

.

(3.13)

Первое слагаемое в этом уравнении отвечает за нестационарность движения, поэтому если это слагаемое равно нулю, по движение стационарно. Остальные слагаемые отвечают за движение вдоль соответствующих осей.

Отметим, что уравнение неразрывности потока справедливо только в том случае, если поток неразрывен, то есть в потоке нет других жидкостей или газов, а также нет источников или стоков выделяющих или поглощающих флюид (химических реакций, фазовых превращений и т. д.). В дивергентном виде это уравнение записывается:

.

(3.14)

В частных случаях уравнение упрощается. Для плоскопараллельного потока (приток к галерее)

.

(3.15)

Для плоско радиального потока (приток к скважине)

(3.16)

Для радиально-сферического потока

(3.17)

При стационарном движении уравнение неразрывности удобно записать в интегральном виде. Для этого выберем элементарную струйку или поток, боковые поверхности которого непроницаемы для жидкости, а торцевые представляют собой поперечные сечения, то есть перпендикулярны направлению скорости. Проинтегрируем уравнение неразрывности потока по объему между этими сечениями и применим теорему Остроградского - Гаусса то, есть перейдем от интеграла по объему к интегралу по боковой поверхности этого объема:

(3.18)

В этом выражении производная по времени обратилась в ноль так, как движение стационарное. Интеграл по боковой поверхности равен нулю так, как скалярное произведение вектора скорости и нормали к боковой поверхности S_Б равно нулю (угол между этими векторами составляет 90° из-за того, что граница непроницаема). В первом поперечном сечении угол между вектором скорости и нормали к поперечному сечению составляет 180°, поэтому косинус этого угла в скалярном произведении равен минус единице. Поэтому интеграл по поверхности первого поперечного сечения представляет собой массовый расход в этом поперечном сечении с отрицательным знаком. Аналогично интеграл по поверхности второго поперечного сечения представляет собой массовый расход в этом поперечном сечении, но с положительным знаком так, как угол между вектором скорости и нормали к поперечному сечению равен нулю. Из полученного выражения следует, что массовый расход в любом поперечном сечении потока при стационарном движении величина постоянная.

(3.19)

Если происходит движение несжимаемой жидкости, то плотность в разных сечениях будет постоянной. Поэтому для несжимаемой жидкости будет постоянным не только массовый расход, но и объемный расход.

(3.20)