ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК В

MATHCAD

Рассмотрим задачу получения и анализа частотных характеристик однозвенного нагруженного Г-образного LC-фильтра низких частот (рис. 2.52) с применением MathCAD.

В главе 8 выведено выражение (2.15) для операторной передаточ- ной функции ФНЧ. Пусть ω – частота входного сигнала (напряжения) ФНЧ, а j – мнимая единица. Заменим в (2.15) оператор Лапласа s на

комплексную переменную j·ω

W( j⋅ω) =

(L⋅ j⋅ω+ R)⋅⎛C⋅ j⋅ω+

.

1 ⎞ +1

(2.19)

⎜ ⎟

⎝ RНАГР ⎠

Преобразуем знаменатель выражения (2.19), выделив действи-

тельную и мнимую части

W( j⋅ω) =

1 − L⋅C⋅ω2 +

1 .

R + j⋅ω⋅⎛ R⋅C+ L ⎞

(2.20)

⎜ ⎟

RНАГР

⎝ RНАГР ⎠

Напомним, что в математике известна процедура избавления от мнимой единицы в знаменателе выражения

1 ⋅ a −

j ⋅b = a −

j ⋅b =

a − j ⋅ b

. (2.21)

a +

Приняв

j ⋅ b a −

j ⋅ b a2 + b2

a2 + b2

a2 + b2

a = 1 − L ⋅ C ⋅ ω 2 +

R RНАГР

(2.22)

и

b = ω ⋅⎛ R ⋅C +

L ⎞ (2.23)

,

⎜ ⎟

⎝ RНАГР ⎠

и, учитывая (2.20) можно записать выражение для комплексной частот-

ной характеристики ФНЧ

1 − L ⋅ C ⋅ ω 2 +

R

RНАГР

(2.24)

W( j⋅ω) =

2 2 −

⎛

1 − L⋅C⋅ω2 +

R ⎞ + ω2 ⋅⎛ R⋅C+ L ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ RНАГР ⎠ ⎝

RНАГР ⎠

ω⋅⎛ R⋅C+ L ⎞

⎜ ⎟

⎛

1 − L⋅C⋅ω2 +

R ⎞ + ω2 ⋅⎛ R⋅C+ L ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

где

⎝

= P (ω )+

RНАГР ⎠ ⎝

j ⋅ Q (ω ) = A(ω )⋅ e j⋅ϕ(ω),

RНАГР ⎠

P(ω) =

1 − L ⋅ C ⋅ ω 2 +

R

RНАГР

(2.25)

–

2 2

⎛

1− L⋅C⋅ω2 +

R ⎞ + ω2 ⋅⎛ R⋅C+ L ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ RНАГР ⎠ ⎝

RНАГР ⎠

– вещественно-частотная характеристика (ВЧХ) ФНЧ,

ω⋅⎛ R⋅C+ L ⎞

(2.26)

⎜ ⎟

⎝ RНАГР⎠

Q (ω )=−

⎛

1 − L⋅C⋅ω2 +

2 2 –

R ⎞ +ω2 ⋅⎛ R⋅C+ L ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ RНАГР ⎠ ⎝

RНАГР ⎠

– мнимо-частотная характеристика (МЧХ) ФНЧ,

A(ω) = W( j⋅ω) =

P(ω)2 + Q(ω)2 –

(2.27 )

– амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) ФНЧ,

ϕ(ω) = argW( j⋅ω) = arctgQ(ω) –

P(ω)

– фазо-частотная характеристика (ФЧХ) ФНЧ.

(2.28)

Вектор (2.24) на комплексной плоскости частотных характеристик

можно описать либо с помощью пары

P (ω )

и Q (ω ), либо с помощью

A(ω)

и ϕ(ω) . Наибольший интерес с практической точки зрения пред-

ставляют

A(ω)

и ϕ(ω) .

Введём исходные данные в MathCAD(рис. 2.64).

Рис. 2.64

Введём функции (2.25-2.28) в MathCAD(рис. 2.65).

Рис. 2.65

Для нахождения резонансной частоты ФНЧ необходимо АЧХ продифференцировать по частоте ω и ввести результат соответствую- щую функцию (рис. 2.66).

Рис. 2.66

Приравняем производную к нулю и решим нелинейное уравнение с помощью процедуры solve (рис. 2.67).

Рис. 2.67

Отбросим первый и третий полученные корни, а второй корень представим в виде функции, затем определим резонансные частоты при трёх значениях сопротивления нагрузки (рис. 2.68).

Рис. 2.68

Амплитудно-частотные характеристики ФНЧ при разных сопро-

тивлениях нагрузки представлены на рис. 2.69.

Рис. 2.69

Резонансная частота ФНЧ нелинейно зависит от сопротивления нагрузки (рис. 2.70).

Рис. 2.70

Фазо-частотные характеристики ФНЧ при разных сопротивлениях нагрузки представлены на рис. 2.71.

Рис. 2.71

Если

повышать частоту

входного сигнала ФНЧ начиная от резо-

нансной, то амплитуда выходного напряжения при некоторой частоте

снизится в

2 раз по сравнению с амплитудой при частоте, стремящей-

ся к нулю. Такая частота определяет полосу пропускания ФНЧ. Опреде-

лим

полосу пропускания ФНЧ при ненагруженном режиме, решив не-

линейное уравнение с помощью процедур solve. Результат представим в

формате float (с плавающей точкой), взяв первые 6 значащих цифр ре-

зультата (рис. 2.72).

Рис. 2.72

Истинным решением будет первый корень, так как он является действительным положительным числом.

Найдём полосы пропускания ФНЧ при втором и третьем сопро-

тивлениях нагрузки (рис. 2.73).

Рис. 2.73

Аналогично истинным решением будет в обоих случаях первый корень, так как он является действительным положительным числом.

Численные результаты расчётов в ной главе внесём в табл. 2.2.

MathCAD, полученные в дан-

Таблица 2.2

Как видно из табл. 2.2 резонансная частота и полоса пропускания ФНЧ при увеличении загруженности фильтра смещаются в сторону низких частот.

ГЛАВА 11.