ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ОПЕРАТОРНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ

Операционное исчисление широко применяется для решения за-

дач электротехники.

Существует множество преобразований, используемых математи-

ками: преобразования Лапласа, Карсона, Фурье и другие. Все они име-

ют свои достоинства и недостатки, но преобразование Лапласа получи-

ло наибольшее распространение – MathCAD имеет встроенную под-

держку данного преобразования (рис. 2.51).

Рис. 2.51

Более подробно применение операционного исчисления для ре- шения линейных дифференциальных уравнений и систем можно рас- смотреть в [14].

Рассмотрим подробно вывод операторной передаточной функции однозвенного LC-фильтра низких частот (ФНЧ) (рис. 2.52).

L R

UВХ (t) =1⋅sin(ωt)

C RНАГР

UВЫХ

L = 10 ⋅10−3 Гн C = 100 ⋅10−6 Ф R = 1 Ом

Рис. 2.52

На первом этапе необходимо составить систему дифференциаль- ных уравнений, описывающих состояние ФНЧ. На вход ФНЧ подаётся гармонический сигнал. Будем использовать следующие обозначения переменных:

U ВХ (t )

- входное напряжение,

UВЫХ (t)

- выходное напряжение,

iL(t )

iC(t )

iН (t )

- ток катушки индуктивности,

- ток конденсатора,

- ток нагрузки.

По второму закону Кирхгофа входное напряжение уравновешива-

ется как

U (t ) = L diL (t ) + i

(t )⋅ R +U

(t). (2.7 )

ВХ dt

L ВЫХ

Согласно первому закону Кирхгофа ток катушки индуктивности

iL расщепляется на ток конденсатора iC

и ток нагрузки iН

iL(t ) = iC(t )+ iН (t ). (2.8)

Известно, что ток конденсатора определяется как

i (t ) = C dU ВЫХ (t ) , (2.9)

C dt

а ток нагрузки по закону Ома выразим как

RНАГР

(2.10)

Система дифференциальных уравнений, описывающих состояние

ФНЧ с учётом 2.7-2.10, выглядит следующим образом

⎧

⎪U ВХ

⎪

⎨

(t ) = L diL (t ) + i dt L

(t ) ⋅ R +U

ВЫХ

(t )

(2.11)

⎪i

⎪⎩ L

(t ) = C dU ВЫХ (t ) + U ВЫХ (t ).

dt RНАГР

Применим к выражению 2.11 прямое преобразование Лапласа и получим систему алгебраических уравнений в изображениях и прове- дём алгебраические преобразования

⎧U ВХ (s ) = (L ⋅ s + R)⋅iL (s )+U ВЫХ (s )

⎪

⎨

⎪iL

R

⎞

⎟⋅U

ВЫХ

(s ),

(2.12)

⎩ ⎝ НАГР ⎠

где s – оператор Лапласа.

Подставим второе уравнение системы (2.12) в первое и проведём алгебраические преобразования

U (s) = (L ⋅ s + R)⋅⎛C ⋅ s + 1 ⎞⋅U

(s)+U

(s),

ВХ ⎜ ⎟

ВЫХ ВЫХ

⎝ RНАГР ⎠

(2.13)

⎛ ⎛

U (s) = (L ⋅ s + R)⋅ C ⋅ s +

1 ⎞ ⎞

+ 1 ⋅U

(s).

ВХ ⎜

⎜ R ⎟

⎟ ВЫХ

⎝ ⎝ НАГР ⎠ ⎠

Операторной передаточной функцией ФНЧ

W( s)

называется от-

ношение изображение выходного сигнала U ВЫХ (s )

ко входному U ВХ (s )

W (s ) = U ВЫХ (s ). (2.14)

U ВХ (s )

С учётом 2.14 и 2.13 запишем выражение для операторной пере-

даточной функции ФНЧ

W( s) =

(L⋅ s+ R)⋅⎛C⋅ s+

.

1 ⎞ +1

(2.15)

⎜ ⎟

⎝ RНАГР ⎠

ГЛАВА 9.