СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Многие задачи на расчёт линейных электрических цепей постоян-
ного и переменного тока легко и
быстро решаются с применением
MathCAD, однако пользователь должен уметь грамотно и безошибочно составлять системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Па- кет MathCAD позволяет решать системы линейных алгебраических уравнений практически неограниченной размерности всеми известными в настоящее время способами.
Запишем систему n линейных алгебраических уравнений с n неиз-
вестными
a11 ⋅x1 +a12 ⋅x2 +...+a1n ⋅xn =b1,
a21 ⋅ x1 + a22 ⋅ x2 + ...+ a2n ⋅ xn = b2,
.................................................
an1 ⋅ x1 + an2 ⋅ x2 + ...+ ann ⋅ xn = bn.
Совокупность коэффициентов этой системы запишем в виде матри-
цы коэффициентов:
⎡ a11
a12
...
a1n ⎤
⎢ ⎥
A = ⎢a21
a22
...
a2n ⎥
⎢..........................⎥
⎢ ⎥
⎢⎣an1
an2
...
ann ⎥⎦
Система уравнений с учётом матрицы Aзапишется в виде
A⋅ X
= B,
где X и B – вектор-столбец неизвестных и вектор-столбец правых частей соответственно:
⎡ x1 ⎤
⎢ ⎥
⎡b⎤
X= ⎢x2 ⎥, B= ⎢b2⎥.
⎢... ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣xn⎥⎦
⎢... ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣bn⎥⎦
Методы решения СЛАУ делятся на прямые и итерационные. Прямые методы используют конечные соотношения (формулы) для вычисления неизвестных. К прямым методам решения СЛАУ относятся метод Гаус- са, метод обратной матрицы, метод Крамера. Прямые методы исполь- зуют обычно для сравнительно небольших систем (n < 200) с плотно за- полненной матрицей и не близким к нулю определителем. Итерацион- ные методы — это методы последовательных приближений. В них не- обходимо задать некоторое приближенное решение — начальное при- ближение. После этого с помощью некоторого алгоритма проводится один цикл вычислений, называемый итерацией. В результате итерации находят новое приближение. Итерации проводятся до получения реше- ния с требуемой точностью. К итерационным методам относятся метод простых итераций, метод Якоби, метод Зейделя. Подробно с методами решения СЛАУ можно ознакомиться в литературе [1, с. 114-154], [2, с.
216-226], [3, с. 126-155], [4, с. 24-93], [5, с. 41-65], [6, с. 133-145], [7, с.
21-36, 184-220], а также в [8, с. 7-21].
Расчёт цепи постоянного тока методами обратной матрицы и Кра-
Мера
Пусть дана электрическая цепь (рис. 2.30), состоящая из трёх вет- вей. Известны величины ЭДС источников и сопротивлений в каждой ветви. Необходимо определить токи, протекающие в каждой ветви.
I |
3
I1 I2
R2
E1 E2 E3
Рис. 2.30. Линейная электрическая цепь
Для трёх неизвестных токов I1, I2, I3 составим систему из трёх уравнений согласно первому и второму законам Кирхгофа
⎪ |
⎨E1 = I1 ⋅R1 + I3 ⋅R3 + E3
⎩ |
и преобразуем её следующим образом
⎪ |
⎨I1 ⋅R1 + I2 ⋅0 + I3 ⋅R3 = E1 − E3 .
⎪ I⋅1−I
⋅1−I
⋅1 = 0
⎩ 1 2 3
Решение задачи по этапам в MathCADприведено на рис. 2.31.
Рис. 2.31
На первом этапе задаём в единицах СИ величину параметров электрической цепи - сопротивление R (Ом), ЭДС источников E (В).
На втором и третьем этапах формируем матрицы коэффициентов и свободных членов. Искомое решение на четвёртом этапе легко полу- чить методом обратной матрицы. Здесь Mr-1 – обратная матрица от мат- рицы коэффициентов, Mi– матрица токов (матрица решений СЛАУ). Следовательно величины искомых токов составят соответственно I1=1.6⋅10-3 А, I2=1⋅10-3 А, I3=6⋅10-3 А.
Проведём проверку найденных решений, используя первое урав-
нение СЛАУ
Mi⋅R1+Mi
⋅R2+ E2 = 20.
0 1
Проверка показывает правильность найденных решений.
Данная СЛАУ несложно решается в пакете MathCAD и методом
Крамера.
Для решения СЛАУ методом Крамера введём три дополнитель-
ных матрицы, получаемых заменой соответствующего столбца в матри-
це коэффициентов на вектор-столбец правых частей (рис. 2.32).
Рис. 2.32
Решение системы методом Крамера J1, J2, J3 определяется как от-
ношение соответствующих частных
определителей
(от матриц M1, M2,
M3) к полному определителю (от матрицы MR) (рис. 2.33).
Рис. 2.33
Как видим решения J1, J2, J3, полученные методом Крамера совпа-
дают с решениями, полученными методом обратной матрицы.
Для студентов, желающих самостоятельно решить вышеприве-
дённую систему в пакете MathCAD методами Гаусса, Якоби и Зейделя,
рекомендуем обратиться к [8, с. 16-18].
СЛАУ, описывающая цепь переменного тока, решается аналогич-
но, ответ получается в комплексном виде.
ГЛАВА 7.
Дата добавления: 2016-04-02; просмотров: 947;