ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ПЕРЕХОДНЫЕ ФУНКЦИИ

Рассмотрим задачу получения и анализа импульсных переходных характеристик однозвенного нагруженного Г-образного LC-фильтра низких частот (ФНЧ).

Пусть ФНЧ коммутируют на источник постоянного тока Uвх при трёх значениях сопротивления нагрузки: 10·R (нагруженный режим),

100·R (нормальный режим), 1000·R (ненагруженный режим) (рис 2.53). Необходимо с применением обратного преобразования Лапласа полу- чить импульсные переходные характеристики для всех значений сопро- тивления нагрузки, определить время переходного процесса и перерегу- лирование. Результаты внести в таблицу.

L R

UВХ

C RНАГР

UВЫХ

Рис. 2.53

Вводим в MathCADисходные данные (рис. 2.54).

Рис. 2.54

С учётом (2.15) запишем выражение для выходного напряжения

ФНЧ в операторной форме

UВЫХ

(s ) = U ВХ

s

⋅ 1

(L ⋅ s + R)⋅⎛C ⋅ s +

,

1 ⎞ +1

(2.16)

⎜ ⎟

⎝ RНАГР ⎠

где

UВХ

s

– операторная форма входного напряжения, прикладываемого

ступенчато при коммутации ключа (рис. 2.53).

Упростим в MathCADвыражение (2.16) с применением оператора

упрощения выражений simplify для

RНАГР1 =1000 ⋅ R

(рис. 2.55).

Рис. 2.55

К выражению, полученному в результате упрощения, применим обратное преобразование Лапласа с учётом нулевых начальных условий (до коммутации токи и напряжения ФНЧ равны нулю) (рис. 2.56).

Рис. 2.56

Получаем переходную функцию ФНЧ в ненагруженном режиме

1001 1001

39919 ⋅ t )−

(2.17 )

− 1000

⋅ exp (−55 ⋅ t )⋅

39919 ⋅ sin (5 ⋅

39919 ⋅ t )

и вводим её в MathCAD. Напомним, что операция присвоения в Math-

CAD производится как :=.

Аналогично получим в MathCADпереходные функции ФНЧ:

h2 (t )

h3(t )

– в нормальном ( RНАГР 2 = 100 ⋅ R ) и

– в нагруженном режимах (рис. 2.57).

Рис. 2.57

Как видно из рис. 2.57 переходные процессы имеют колебатель-

ный характер с перерегулированием и стремятся при t→∞ к установив-

шимся значениям

h1(∞) ≈ h1(100) ,

h2 (∞) ≈ h2 (100) ,

h3(∞) ≈ h3(100) .

Переходный процесс

h1(t)

заканчивается, если

h1(t) ≤1.05 ⋅ h1(∞) и

h1(t) ≥ 0.95 ⋅ h1(∞) , или, по-другому,

h1(t) последний раз входит в зону

допустимых отклонений

h1(∞) ± 0.05 ⋅ h1(∞) . Время переходного про-

цесса в MathCADможно определить графически и численно. Переход-

ный процесс

h1(t)

последний раз пересекает нижнюю границу зоны до-

пустимых отклонений при 0.051 с (рис. 2.58), верхнюю – при 0.054 с

(рис. 2.59), следовательно, tПП1 = 0.054 с .

Рис. 2.58

Рис. 2.59

Аналогично в MathCADопределяем:

– для

h2 (t ) время переходного процесса tПП2 = 0.029 с и

– для

h3(t )

время переходного процесса tПП3 = 0.005 с .

Перерегулирование для переходной характеристики

делим как

h1(t )

опре-

h1(tm1)− h1(∞)

h1(tm1)− h1(100)

(2.18)

∆h1 = ⋅100% ≈ ⋅100% ,

h1(∞)

h1(100)

где tm1 – время достижения функцией

h1(t)

первого максимума.

Для определения tm1найдём в MathCAD производную

(рис. 2.60).

h1(t )

по t

Объявим функцию

dh1(t)

Рис. 2.60

(рис. 2.61).

Рис. 2.61

Графически определим время

tm1в первом приближении (рис. 2.62).

tt1 = 0.00314 c , что соответствует

Рис. 2.62

Используя процедуру findи учитывая (2.18) определяем, что пе-

ререгулирование переходной функции

(рис. 2.63).

h1(t )

составит

∆h1 = 84.117%

Рис. 2.63

Аналогично в MathCADопределяем:

– для

h2 (t) перерегулирование

∆h2 = 73.04% и

– для

h3(t)

перерегулирование

∆h3 = 13.04% .

Полученные в данной главе результаты внесём в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Как видно из табл. 2.1, с увеличением загруженности ФНЧ

уменьшается время переходного процесса и перерегулирование.

ГЛАВА 10.