Распределение Вейбулла–Гнеденко

Распределение Вейбулла–Гнеденко довольно универсально, охватывает путем варьирования параметров широкий диапазон случаев изменения вероятностей. Наряду с логарифмическим нормальным распределением оно удовлетворительно описывает наработку деталей по усталостным разрушениям, наработку до отказа подшипников, радиодеталей. Используется для оценки надежности деталей и узлов машин, в частности автомобилей, подъемно-транспортных и других машин. Применяется также для оценки надежности по приработочным отказам.

Распределение характеризуется следующей функцией вероятности безотказной работы:

. (4.32)

(Здесь t₀ – значение времени, при котором плотность вероятности максимальна, в теории вероятностей носит название мода).

Интенсивность отказов

. (4.33)

Плотность распределения

. (4.34)

Из формул (4.33) и (4.34) видно, что распределение Вейбулла – Гнеденко имеет два параметра: параметр формы m >1 и параметр масштаба t₀.

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение рассчитываются соответственно по формулам:

, (4.35)

, (4.36)

где b_m и с_m – коэффициенты, выбираемые по табл. 4.3.

Таблица 4.3

Коэффициенты для расчёта параметров m_t и s_t

Параметр формы m	1/m	bm	сm	Коэффициент вариации
0,400	2,5	3,32	10,4	3,14
0,455	2,2	2,42	6,22	2,57
0,500	2,0	2,00	4,47	2,24
0,556	1,8	1,68	3,26	1,94
0,625	1,6	1,43	2,39	1,67
0,833	1,2	1,10	1,33	1,21
1,2	0,833	0,941	0,787	0,837
1,6	0,625	0,897	0,574	0,640
2,0	0,500	0,887	0,463	0,523
2,5	0,400	0,886	0,380	0,428

Возможность и универсальность распределения Вейбулла – Гнеденко видны из следующих пояснений (рис. 4.11).

Рис. 4.11. Основные характеристики распределения Вейбулла – Гнеденко при разных
параметрах m: а – плотность вероятности f(t); б – интенсивность отказов λ(t)

При m < 1 функции λ(t) и f(t) наработки до отказа убывающие.

При m = 1 распределение превращается в экспоненциальное, λ(t) = const
и f(t) – убывающая функция.

При m > 1 функция f(t) – одновершинная, функция λ(t) непрерывно возрастающая, при 1 < m < 2 – с выпуклостью вверх, а при m > 2 – с выпуклостью вниз.

При m = 2 функция λ(t) является линейной и распределение Вейбулла –Гнеденко превращается в распределение Рэлея.

При m = 3,3 распределение Вейбулла – Гнеденко близко к нормальному.

Кроме рассмотренных законов распределения, в качестве моделей надёжности объектов могут использоваться и другие, например распределение Рэлея, распределение Эрланга и т. д. [53].

Контрольные вопросы

1. Перечислить виды распределений, описывающих надёжность в период постепенных отказов.

2. Для описания надёжности каких объектов используется логарифмически нормальное распределение?

3. Какой из параметров в выражении плотности распределения отказов при гамма-распределении наработки является параметром формы, а какой –параметром масштаба?