Усеченное нормальное распределение

Усеченным нормальным распределением называется распределение, получаемое из классического нормального при ограничении интервала возможных значений наработки до отказа.

Известно, что корректность использования классического нормального распределения наработки достигается при Т ≥ 3S.

При малых значениях Т и большом S может возникать ситуация, когда функция f(t) «покрывает» своей левой ветвью область отрицательных наработок (рис. 4.7).

Рис. 4.7. Функция плотности вероятности усеченного нормального распределения

Таким образом, нормальное распределение, являясь общим случаем распределения случайной величины в диапазоне (–∞; +∞), лишь в частности (при определенных условиях) может быть использовано для моделей надёжности.

В общем случае усечение может быть:

левым – (0; +∞),

двусторонним – (t₁, t₂).

Для рассмотрения количественных характеристик надёжности при усеченном нормальном распределении вводится нормирующий множитель, чтобы сохранить условие нормирования плотности вероятности:

, (4.19)

где

, (4.20)

откуда

(4.21)

Переходя от случайной величины Т = {t} к величине X = {x}

x₂ = (t₂ –Т)/S , x₁ = (t₁ – Т)/S ,

получают

,

откуда

(4.22)

где Ф(х) – интеграл Лапласа.

.

Усеченный нормальный закон распределения применяется для описания постепенных отказов объектов, что характерно для «стареющих» объектов.

Поскольку [Ф(x₂)–Ф(x₁)] < 1, то c > 1, поэтому f₁(t) > f₂(t). Здесь f₁(t) – функция плотности распределения отказов для нормального закона распределения, f₂(t) – функция плотности распределения отказов для усеченного нормального закона распределения. Кривая f₁(t) выше, чем f₂(t), так как площади под кривыми f₁(t) и f₂(t) одинаковы и равны 1 (рис. 4.8):

(с погрешностью ≤ 1 %).

Рис. 4.8. Функция плотности распределения отказов
для нормального закона распределения f₁(t) и функция плотности распределения отказов
для усеченного нормального закона распределения f₂(t)

1. Почему распределение Гаусса называется нормальным?

2. Поясните влияние параметров распределения: математического ожидания и дисперсии по виду кривой плотности распределения отказов.

3. При каких условиях правильно использовать классическое нормальное распределение, а при каких – усечённое нормальное распределение?