Надёжность восстанавливаемых объектов. Постановка задачи. Общая расчётная модель

При расчёте показателей надёжности восстанавливаемых объектов и систем наиболее распространено допущение:

– экспоненциальное распределение наработки между отказами;

– экспоненциальное распределение времени восстановления.

Допущение во многом справедливо, поскольку, во-первых, экспоненциальное распределение наработки описывает функционирование системы на участке нормальной эксплуатации, во-вторых, экспоненциальное распределение описывает процесс без «предыстории».

Применение экспоненциального распределения для описания процесса восстановления позволяет при независимых отказах представить анализируемые системы в виде марковских систем.

При экспоненциальном распределении наработки между отказами и времени восстановления расчёт надёжности производится методом дифференциальных уравнений для вероятностей состояний (уравнений Колмогорова –Чепмена).

Случайный процесс в какой-либо физической системе S называется марковским (рис. 4.13), если он обладает следующим свойством: для любого момента t₀ вероятность состояния системы в будущем (t > t₀) зависит только от состояния в настоящем (t = t₀) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (иначе: при фиксированном настоящем будущее не зависит от предыстории процесса – прошлого).

t < t₀ t > t₀

Рис. 4.13. Состояние системы

Для марковского процесса «будущее» зависит от «прошлого» только через «настоящее», т. е. будущее протекание процесса зависит только от тех прошедших событий, которые повлияли на состояние процесса в настоящий
момент.

Марковский процесс, как процесс без последействия, не означает полной независимости от прошлого, поскольку оно проявляется в настоящем.

В общем случае для системы S необходимо иметь математическую модель в виде множества состояний системы S₁, S₂, … , S_n, в которых она может находиться при отказах и восстановлениях элементов.

Для рассмотрения принципа составления модели введены допущения:

– отказавшие элементы системы (или сам рассматриваемый объект) немедленно восстанавливаются (начало восстановления совпадает с моментом отказа);

– отсутствуют ограничения на число восстановлений;

– если все потоки событий, переводящих систему (объект) из состояния в состояние, являются пуассоновскими (простейшими), то случайный процесс переходов будет марковским процессом с непрерывным временем и дискретными состояниями S₁, S₂, … , S_n .

Основные правила составления модели:

1. Модель изображают в виде графа состояний.

Элементы графа:

а) кружки (вершины графа S₁, S₂, … , S_n) – возможные состояния системы S, возникающие при отказах элементов; б) стрелки – возможные направления переходов из одного состояния S_i в другое S_j.

Над/под стрелками указываются интенсивности переходов.

Рис. 4.14. Примеры графа: S₀ – работоспособное состояние; S₁ – состояние отказа

«Петлей» обозначаются задержки в том или ином состоянии S₀ и S₁, а именно:

S₀– исправное состояние продолжается;

S₁– состояние отказа продолжается (в дальнейшем петли на графах не рассматривают).

Граф состояний отражает конечное (дискретное) число возможных состояний системы S₁, S₂, …, S_n. Каждая из вершин графа соответствует одному из состояний.

2. Для описания случайного процесса перехода состояний (отказ/восста­новле­ние) применяют вероятности состояний P₁(t), P₂(t), … , P_i(t), … , P_n(t), где P_i(t) – вероятность нахождения системы в момент t в i-м состоянии, т. е. P_i(t) = P{S(t) = S_i}.

Очевидно, что для любого t

. (4.40)

3. По графу состояний составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (уравнений Колмогорова – Чепмена), име­ю­щих вид:

. (4.41)

Рис. 4.15. Граф состояний

В общем случае интенсивности потоков λ_ij и μ_ij могут зависеть от вре-мени t.

При составлении дифференциальных уравнений пользуются простым мнемоническим правилом:

а) в левой части записывается производная по времени t от P_i(t);

б) в правой части число членов равно числу стрелок, соединяющих рассматриваемое состояние с другими состояниями;

в) каждый член правой части равен произведению интенсивности перехода на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка;

г) знак произведения положителен, если стрелка входит (направлена острием) в рассматриваемое состояние, и отрицателен, если стрелка выходит из него.

Проверкой правильности составления уравнений является равенство нулю суммы правых частей уравнений.

4. Чтобы решить систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний P₁(t), P₂(t), …, P_i(t), …, P_n(t), необходимо задать начальное значение вероятностей P₁(0), P₂(t), …, P_i(0), …, P_n(0); при t = 0 их сумма равна единице:

.

Если в начальный момент t = 0 состояние системы известно, например, S(t = 0) = S_i, то P_i(0) = 1, а остальные равны нулю.