Расчет нестационарного температурного поля неохлаждаемой лопатки.

Для лопаток, имеющих профиль небольшой толщины можно сделать следующие предположения:

1. Температура по толщине профиля постоянна и меняется только вдоль скелетной линии.

2. При прогреве профиля можно пренебречь тепловым потоком вдоль скелетной линии.

3. Потоком тепла вдоль вертикальной оси лопатки можно пренебречь.

При этих предположениях задача сводится к определению температуры призматического элемента, выделенного двумя поперечными сечениями, нормальными к оси z на расстояние dz и двумя сечениями, перпендикулярными к скелетной линии профиля s на расстояние ds (рис. 24 и рис. 25). При условии малости ds можно считать, что ds₁=ds₂.

Уравнение сохранения энергии для призматического элемента имеет следующий вид:

где

Согласно принятым допущениям 2 и 3, тепловые потоки q_s, q_s+ds, q_z, q_z+dz равны нулю. Тогда уравнение сохранение энергии перепишется как

где T– температура (постоянная по толщине) материала выделенного элемента; T₁, T₂ – температуры торможения газа около вогнутой и выпуклой стороны элемента; ρ_м, с_м – плотность и удельная теплоемкость материала лопатки.

Можно принять T₁=T₂=T_г, тогда

Коэффициент, стоящий перед разностью температур во втором слагаемом должен иметь размерность обратную времени 1/с. Обозначим

где τ₀ – характерное время прогрева. С учетом введенных обозначений имеем

Предполагая, что коэффициенты теплоотдачи α₁ и α₂ постоянны в процессе прогрева и охлаждения, можно получить решение уравнения (65) при начальном условии

Уравнение (65) представляет собой линейное неоднородное уравнение, решение которого осуществляется заменой переменной T=uv:

Предполагается, что функция v должна удовлетворять уравнению

решая которое, имеем

Тогда для определение функции u необходимо решить следующее уравнение

Проинтегрируем последнее уравнение

С учетом формул (66) и (67) имеем

Для определения постоянной интегрирования С воспользуемся начальными условиями

Тогда

Пусть температура газа изменяется скачкообразно, то есть T_г=T_г0=const. В этом случае интеграл во втором слагаемом формулы (68) легко вычисляется:

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в последнем выражение:

Добавим и вычтем в правой части последнего уравнения комплекс T_a-T_г0:

После приведения подобных слагаемых окончательно получим

Изменение температуры во времени зависит от τ₀(s). Чем меньше τ₀, тем быстрее прогревается профиль (рис. 26).

Коэффициенты теплоотдачи имеют наибольшие значения на кромках (рис. 27). Большие значения α₁ и α₂, а также малая толщина в зоне кромок приводит к малому характерному времени прогрева в этой области профиля лопатки.