Лекция 3. Математические модели однофазной фильтрации пластовых флюидов.

Моделирование основных процессов фильтрации

Пластовых флюидов

Течение флюидов в пористых средах является физическим процессом. Поэтому, очевидно, проблемы моделирования данного явления по существу совпадает с общей проблемой моделирования в физике.

Можно выделить две основные цели моделирования. Первая– условно говоря, более научная – выявление общих закономерностей исследуемого процесса и получение в результате математической обработки полученных экспериментальных данных эмпирических физических (механических) законов. Вторая – более практическая – прогнозирование результатов осуществления воздействия на реальные природные объекты.

Примером реализации первой цели может служить опыт Дарси. В последующем, вплоть до настоящего времени, с этой целью широко использовались (и продолжают использоваться) так называемые «щелевые лотки» – двумерный аналог экспериментальной установки Дарси. Движение флюидов в щелевых лотках происходит не в одном (вертикальном), а в двух – вертикальном и горизонтальном направлениях.

Данный подход представляет собой метод физического моделирования.При этом могут использоваться не только искусственно создаваемые пористые среды (как в опытах Дарси), но и образцы (керны) реальных горных пород-коллекторов.

Для достижения второй цели может быть использован как указанный метод физического моделирования, так и методы математического и аналогового моделирования.

Что касается применения метода физического моделирования при постановке второй из указанных целей, то здесь важно указать на следующие особенности его использования.

Во-первых, перенос результатов, полученных на моделях, на реальный объект не может быть осуществлен непосредственно. Необходимо учитывать так называемый «масштабный фактор», конкретное выражение для которогоустанавливается либо на основе использования теории подобия, либо путем учета соответствующих эмпирических коэффициентов, либо в результате проведения математического анализа процесса. Использование последнего варианта выводит данный подход за рамки физического моделирования в чистом виде, поскольку приходится его комбинировать с математическим моделированием, о котором речь пойдет чуть ниже.

Во-вторых, в качестве физической модели может быть использована не только лабораторная установка, но и непосредственно часть изучаемого объекта. Например, для изучения поведения нефтяного или газового пласта как целого может быть выбран некоторый участок этого пласта, на котором и будут проведены соответствующие испытания. Такие исследования носят название «натурный эксперимент».

Лабораторный физический эксперимент является более «чистым», поскольку весьма высока степень определенности задаваемых исходных параметров модели. Особенно это касается характеристик пористой среды. В то же время сильное масштабное несоответствие и низкая адекватность реальным условиям протекающих процессов, как правило, не позволяют использовать результаты лабораторных экспериментов на количественном уровне – в основном они воспринимаются только как качественные.

Натурный физический эксперимент наоборот можно назвать «грязным» с научной точки зрения, так как информация и о свойствах выбранного участка, и о параметрах внешнего воздействия в этом случае весьма нечеткая. Но с практической точки натуральный эксперимент имеет явные преимущества вследствие значительно большей близости к условиям реального объекта по двум другим позициям – соответствию масштабов протекающих процессов и адекватности свойств экспериментального участка и всего пласта.

Математическое моделированиелюбых физических процессов представляет собой постановку математической задачи, описывающей развитие данного процесса в пространстве и во времени, и е последующее решение.

Указанная постановка включает:

1. Вывод уравнения, представляющего собой баланс сил, действующих в физической точке среды.

2. Определение материальных констант – коэффициентов уравнения, отражающих термодинамические, реологические, электромагнитные и тому подобные свойства участвующих в процессе фаз и компонентов.

3. Задание начальных условий, отражающих распределение сил в выделенном объеме в начальный (исходный) момент времени.

4. Задание граничных условий, устанавливающих характер внешнего воздействия на границах рассматриваемой области.

5. Задание уравнений состояния, описывающих взаимосвязь термодинамических характеристик находящихся в объеме фаз и компонентов.

Поставленная таким образом задача может иметь либо аналитическое, либо численное решение, анализ которого и позволит дать прогноз поведения системы в будущем.

Численная реализация математических моделейявляется методом решения задач математической физики, альтернативным аналитическому. Так как подавляющее большинство сколько-нибудь сложных задач, учитывающих, например, нелинейные и/или неравновесные эффекты, сложную, в том числе многосвязную, геометрию области определения задачи и другие реальные условия протекающих процессов, не имеют аналитического решения, численное решение оказывается единственной возможностью осуществления математического модулирования. Именно поэтому вторая половина двадцатого века явилась временем бурного развития разнообразных численных методов и прикладной математики в целом как самостоятельно науки.

Аналоговое моделированиеявляется методом лабораторного физического моделирования, теоретическое обоснование которого лежит в сфере математического моделирования. Поэтому данный подход занимает промежуточное положение между ними.

Идея метода состоит в установлении аналогии между математическими моделями различных физических явлений с тем, чтобы затем использовать одно из этих явлений для моделирования другого. Аналогичные математические модели будут давать аналогичные решения, описывающие поведение моделируемых систем. Отсюда делается вывод о том, что в такой же степени должны быть аналогичны и результаты физического моделирования явлений. Следовательно, проведя физическое моделирование одного из явлений, можно получить результаты, справедливые и в отношении другого, хотя эти явления в принципе могут иметь совершенно различную физическую природу.

Если указанная ситуация складывается в отношении явлений или процессов, физическое моделирование которых имеет существенно различные уровни сложности, оказывается весьма целесообразным создать и использовать простую физическую модель с тем, чтобы полученные результаты, на основе приведенных выше рассуждений, интерпретировать как результаты функционирования сложной физической модели, на самом деле не создавая ее. В подземной гидромеханике большое применение имело аналоговое моделирование, основанное на методе электрогидродинамической аналогии (ЭГДА), т.е. аналогичные дифференциальные уравнения, подписывающуюся фильтрацию и постоянный электрический ток.