Основные законы фильтрации.

Первые исследования над движением жидкости в пористых телах были произведены в середине XIX века французским гидравликом Дарси.

В своих опытах Дарси применял прибор (рисунок 2.5.), состоящий из вертикального цилиндрического сосуда, заполненного слоем песка, через который при постоянной разности напора пропускалась вода. Определяя при помощи пьезометров давления в различных по высоте сечениях фильтрующего слоя, изменяя толщину этого слоя и состав песка и измеряя расход фильтруемой воды, Дарси установил основной закон фильтрации, которому подчиняются различные несжимаемые жидкости (вода, нефть) при своем движении через грунт.

Этот закон носит название закона Дарси и имеет следующее математическое выражение:

( 2.3. )

где	Q	-	расход жидкости при фильтрации
	F2	-	площадь фильтрации, под которой (напомним)понимают полное сечение всего фильтрующего слоя, включая сам грунт, так и поры между отдельными его частицами (для рассматриваемого случая F есть площадь поперечного сечения сосуда)
	h	-	потеря напора, равная и определяемая по разности показаний пьезометров
	γ	-	удельный вес жидкости
	L	-	толщина слоя грунта в направлении фильтрации
	k	-	так называемый коэффициент фильтрации, характеризующий одновременно как фильтрационные свойства пористой среды-грунта, так и физические свойства фильтрующейся жидкости.

Рисунок 2.5. Прибор Дарси.

Уравнение ( 2.3. ) можно представить также в следующей более простой форме:

, ( 2.4. )

где

есть средняя, в сечении фильтрующего слоя, скорость фильтрации, а

- гидравлический уклон, представляющий собой падение напора на единицу длины.

Из этой формулы следует, что коэффициент фильтрации имеет размерность

т.е. размерность скорости (так как гидравлический уклон i есть величина безмерная). Обычно он измеряется в см/сек. Отсюда видно также, что при I = L k = , т.е. физически коэффициент фильтрации представляет собой скорость фильтрации при единичном уклоне.

Дарси проводил свои опыты с водой. В дальнейшем при исследовании фильтрации других жидкостей было установлено, что скорость фильтрации обратно пропорциональна величине вязкости. В связи с этим вязкость жидкости была выделена в отдельный параметр.

В то же время скорость фильтрации стали определять не через перепад напора h а исходя из разности давлений Δp, соответствующей этому перепаду (Δp = γh). Таким образом, получается формула

( 2.5. )

Коэффициент проницаемости связан с коэффициентом фильтрации соотношением

, ( 2.6. )

легко получаемым из сравнения формул (2.5 ) и ( 2.6. ).

т.е. размерность площади.

В физической системе единиц коэффициент проницаемости измеряется в см². За практическую же единицу коэффициента проницаемости принимают проницаемость грунта, который при площади фильтрации F = 1 см², толщине слоя фильтрации L = 1 см, абсолютной вязкости фильтрующейся жидкости μ = 0,001 г/см ·сек (сантипуаз) и потере давления Δp (соответствующей потере напора h) = 1 кГ/см² (аm), пропускает расход Q = 1 см³/сек. Такая единица проницаемости называется дарси; единица, равная 0,001 дарси, носит название миллидарси.

Закон Дарси части называют законом ламинарной фильтрации, так как согласно этому закону расход и скорость фильтрации линейно зависят от потери напора, что является первым признаком ламинарного режима и уже отмечалось ранее при рассмотрении движения жидкости в трубопроводах. В большинстве случаев движение жидкости в пористых телах действительно происходит с весьма малыми скоростями, и сечения отдельных пор грунта также весьма малы, что делает возможным уподобить фильтрацию ламинарному движению в тонких неправильной формы капиллярных трубках. Поэтому закон Дарси, хорошо согласующийся с действительностью, является основным законом фильтрации и обычно используется при решении различного рода практических задач в этой области.

В отдельных случаях, когда движение жидкости в грунте характеризуется значительными скоростями, что может иметь место в крупнотрещиноватых и крупнопористых породах (например, в галечных и скальных породах), наблюдается переход к турбулентному режиму. Закон Дарси здесь нарушается, и формулы ( 2.5.) и ( 2.6. ) теряют силу.

Закон Дарси неприменим также и при фильтрации в весьма мелкозернистых глинистых грунтах с очень малыми скоростями, когда начинают заметно сказываться капиллярные силы поверхностного натяжения. Эти случаи не имеют, однако, особенного практического значения, так как даже при весьма малых размерах частиц грунта, диаметром всего лишь около 0,05 мм, и небольших скоростях фильтрации закон Дарси все еще оказывается справедливым.

Граница перехода от ламинарного режима к турбулентному устанавливается по критическому значению числа Рейнольдса R, для определения которого при фильтрации предложен ряд эмпирических формул. Так, например, по Н.Н. Павловскому:

( 2.7. )

по В.Н. Щелкочеву:

( 2.8. )

Критическое значение числа Рейнольдса при его определении по формуле Павловского лежит в интервале

R_кр = 7 ÷ 9

а по формуле Щелкачева

R_кр = 4 ÷ 12

Для определения скорости фильтрации при турбулентной фильтрации применяются следующие формулы: формула Краснопольского ( в форме, приданной ей Щелкачевым)

( 2.9. )