Цепи при гармоническом воздействии

Электрические цепи однофазного переменного тока

План лекции

1. Основные понятия.

2. Синусоидальный ток.

3. Механизм возникновения синусоидальной ЭДС.

4. Действующие и средние значения периодических ЭДС и токов.

5. Синусоидальный ток в активном сопротивлении.

6. Индуктивность в цепи синусоидального тока.

7. Конденсатор в цепи синусоидального тока.

8. Изображение синусоидально изменяющихся величин векторами на комплексной плоскости.

9. Сложение и вычитание синусоидальных функций времени на комплексной плоскости.

10. Закон Ома в комплексной форме для резистивного, индуктивного и емкостного элементов.

11. Первый и второй законы Кирхгофа в комплексной форме.

Основные понятия

Широкое применение переменного тока в электротехнике началось со времени решения задачи централизованного производства электрической энергии и ее передачи на значительные расстояния.

Передача и распределение энергии требуют по экономическим соображениям и по условиям безопасности применение различных напряжений: высокого – для передачи энергии и сравнительно низкого – для ее распределения потребителям. Благодаря простоте преобразования переменного тока он получил преимущественное распространение.

Переменным током называют ток, изменяющийся во времени. Значение тока в любой данный момент времени называется мгновенным током i. Для одного из двух возможных направлений тока через поперечное сечение проводника мгновенный ток i считается положительным, а для противоположного направления – отрицательным. Направление тока, для которого его мгновенные значения положительны, называется положительным направлением тока. Ток определен, если известна зависимость мгновенного от времени i = f(t) и указано его положительное направление.

Токи, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени в той же самой последовательности, называются периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются,- периодом Т. Для периодического тока

. (1.1)

На рис. 1.1 показан участок АВ электрической цепи и дан пример зависимости i = f(t) для периодического тока. Стрелка на схеме указывает положительное направление тока. Пунктирными стрелками показаны действительные направления тока в моменты времени, когда i > 0 и i < 0. Отрезки кривой между точками a и b или 0 и с охватывают один полный цикл изменения тока за один период.

Величина, обратная периоду, называется частотой

. (1.2)

Рисунок 1.1

Частота измеряется в герцах. Частота периодического тока равна 1 Гц, если период равен 1 с, т.е. 1 Гц = 1 с^-1.

Постоянный ток можно рассматривать как частный случай периодического тока, период изменения которого бесконечно велик, т.е. частота равна нулю.

Термин переменный ток часто применяют в узком смысле, применяя его для такого периодического тока, у которого постоянная составляющая равна нулю, т.е.

. (1.3)

Диапазон частот переменных токов, применяемых в электроэнергетике, весьма широк – от десятков до миллиардов герц. В электроэнергетике стран СНГ и в Европе принята стандартная частота 50 Гц, в США – 60 Гц. Выбор частоты промышленных установок обусловлен технико-экономическими соображениями. При меньших частотах габаритные размеры, масса и стоимость трансформаторов и машин выше, заметно мигание света осветительных приборов и пр. При бо́льших частотах в трансформаторах и машинах увеличиваются потери энергии, повышается напряжение в проводах вследствие возрастания индуктивного сопротивления и т.д.

Целесообразность применения энергии переменного тока вместо постоянного тока обусловлена многими технико-экономическими показателями. В частности,

- источники энергии переменного тока – синхронные генераторы – дешевле, надежнее и могут быть выполнены на значительно бо́льшие мощности и более высокие напряжения, чем генераторы постоянного тока;

- энергия переменного тока одного напряжения легко преобразуется в энергию переменного тока другого напряжения с помощью относительно простого, дешевого и надежного аппарата – трансформатора, что очень важно при передаче энергии на большие расстояния;

- приемники электрической энергии, в которых используются проволочные нагреватели постоянного и переменного токов, мало различаются по своим показателям, однако двигатели переменного тока дешевле и надежней двигателей постоянного тока;

- в промышленности широко используются нагревательные устройства, принцип действия которых основан на использовании переменного тока.

Все определения, введенные выше для токов, применимы и для напряжений u, ЭДС е, магнитных потоков, а также любых электрических и магнитных величин, изменяющихся во времени.

У переменного напряжения u между двумя точками А и В, определяемого по заданному пути s, знак периодически меняется. При этом, если в данный момент времени напряжение между точками А и В, т.е. u_AB, положительно, то в тот же момент времени напряжение u_BA, определяемое в обратном направлении от В к А, - отрицательно. Поэтому для однозначного суждения о напряжении необходимо указать направление пути, которое принято для его определения. Это направление назовем положительным направлением напряжения.

Аналогично вводится понятие о положительном направлении для ЭДС.

В электроэнергетике применяются простые гармонические или синусоидальные тока, т.е. токи, являющиеся синусоидальными функциями времени. Объясняется это тем, что при несинусоидальных токах могут возникать нежелательные явления (увеличение потерь энергии, появление на отдельных участках цепи значительных напряжений и возникновение мешающих влияний на работу связи).

Периодические несинусоидальные токи могут рассматриваться как совокупность синусоидальных токов различных частот.

Синусоидальный ток

Мгновенное значение синусоидального тока определяется выражением

, (1.4)

где I_m – максимальное значение тока (амплитуда);

- фаза тока;

ψ – начальная фаза тока (фаза при t = 0).

Фаза тока с течением времени непрерывно растет. После ее увеличения на 2π весь цикл изменения тока повторяется. Поэтому, когда говорят о фазе для какого-либо момента времени, обычно отбрасывают число 2π так, чтобы значение фазы находилось в пределах ±π или в переделах от 0 до 2π. В течение периода Т фаза увеличивается на 2π. Величина 2π/Т определяет скорость изменения фазы и обозначается буквой ω. Принимая во внимание, что f = 1/T, можно записать

. (1.5)

Выражение (1.5), связывающее f и ω, дало основание назвать ω угловой частотой. Измеряется угловая частота числом радианов, на которое увеличивается фаза за секунду. Вводя в выражение (1.4) обозначение ω для угловой частоты получим:

. (1.6)

На рис. 1.2 приведен график синусоидальных токов одинаковой частоты, но с различными амплитудами и начальными фазами:

;

.

По оси абсцисс отложены время t и пропорциональная времени величина ωt.

Рисунок 1.2

Начальный фазный угол отсчитывается всегда от момента, соответствующего началу синусоиды (нулевое значение синусоидальной величины при переходе ее от отрицательных к положительным значениям), до момента начала отсчета времени t = 0 (начало координат). При ψ₁ > 0 начало синусоиды сдвинуто влево, а при ψ₂ < 0 – вправо от начала координат.

Мгновенное значение синусоидального тока можно представить и в виде косинусоидальной функции времени

, (1.7)

где υ = ψ – π/2.

Если у нескольких синусоидальных функций, изменяющихся с одинаковой частотой, начала синусоид не совпадают, то говорят, что они сдвинуты по фазе друг относительно друга. Сдвиг фаз определяется разностью фаз, которая равна разности начальных фаз. На рис. 1.2 ψ₁ - ψ₂ > 0, т.е. один ток опережает другой на угол ψ₁ - ψ₂.

Если у синусоидальных функций одной частоты одинаковые начальные фазы, то говорят, что они совпадают по фазе, если разность их фаз равна ±π, то говорят, что они противоположны по фазе, если разность их фаз равна ±π/2, то говорят, что они находятся в квадратуре.