СИТСЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

МАТРИЦЫ

Прямоугольная таблица чисел, содержащая т строк и п столбцов, называется матрицей размера тх п: .

Каждый элемент матрицы снабжается двумя индексами: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца, в которых расположен этот элемент.

Две матрицы называются равными, если числа их строк и столбцов совпадают и если равны элементы, расположенные на соответствующих местах этих матриц.

Если число столбцов матрицы п равно числу ее строк, то матрицу называют квадратной матрицей порядка п. Элементы квадратной матрицы порядка п образуют ее главную диагональ.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Диагональная мат­ица называется единичной, если все ее элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице.

Матрица называется транспонированной для матрицы А если она получена из матрицы А путем перестановки местами строк и столбцов.

Действие над матрицами:

1) Умножение матрицы на число. Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число.

2) Сложение матриц. Суммой матриц А и В одинаковых размеров называется матрица, элементы которой равны суммам элементов матриц А и В, расположенных на соответствующих местах.

3) Умножение матриц. Матрицу А можно умножить на матрицу В только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В результате умножения получится матрица С, у которой столько же строк, сколько их матрице А, и столько же столбцов, сколько их в матрице В, а элементы матрицы С вычисляются по формуле:

,

т.е. для получения элемента , расположенного в i-строке и j-омстолбце матрицы С, надо элементы i-ой строки матрицы А умножить на соответ­ствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Любой квадратной матрице порядка п ставится в соответствие число, называемое определителем этой матрицы. Определитель записывается в виде квадратной таблицы и вычисляется по определенному правилу.

Матрица называется невырожденной если ее определитель неравен нулю.

Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (п – 1)-го порядка, который получается в результате вычеркивания в определителе n -го порядка строки и столбца, содержащих эле­мент .

Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, умноженный на : = .

Теорема Лапласа: каждый определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Матрица называется обратной для квадратной невырожденной матрицы , если выполняется равенство:

.

Для обращения матрицы необходимо:

1. Вычислить определитель матрицы А: .

2. Составить присоединенную матрицу , элементами которой являются алгебраические дополнения элементов матрицы А.

3. Транспонировать присоединенную матрицу: .

4. Вычислить обратную матрицу по формуле: .

5. Выполнить проверку.

СИТСЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Общий вид системы линейных уравнений с неизвестными:

,

где

, .

Здесь А – матрица системы, Х – матрица-столбец неизвестных, В – матрица-столбец свободных членов.

Если матрица системы невырожденная, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено:

а) методом обратной матрицы по формуле: ;

б) по формулам Крамера: , где – определитель, полученный из определителя матрицы системы заменой -го столбца столбцом свободных членов.