Данные для построения температурной шкалы микроамперметра

при U_G = 10 В, Ua = 6,667 В и R2 = 20030 Ом

Рис. п6.3.1. Базовая шкала и дополнительные шкалы микроамперметра.

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРОЦЕПЯХ

Пример № 7.1

Схема электрической цепи питания катушки электромагнита с защитой от коммутационного перенапряжения, представленная на рисунке п7.1.1, имеет следующие параметры:

- напряжение аккумулятора Е = 120 В;

- сопротивление добавочного резистора R_Д = 15 Ом;

- сопротивление гасящего (разрядного) резистора R_Г = 25 Ом;

- активное сопротивление катушки R_К = 10 Ом;

- индуктивность катушки L_К = 5 Гн.

Необходимо составить дифференциальное уравнение цепи при замыкании ключа S (рис. п7.1.1а) и решить его относительно тока.

Рис. п7.1.1. Схемы замещения цепи питания катушки электромагнита

Решение

После коммутации, то есть перевода ключа в замкнутое положение, электрическое состояние цепи в соответствии с законами Кирхгофа и Ома имеет вид

Для свободного тока в контуре катушки электромагнита уравнение

имеет решение

в котором величина

τ = L/(R_К + R_Д) = 5/(10 + 15) ≈ 0,2 с

имеет размерность в секундах и называется постоянной времени, а А (постоянная интегрирования) равна току i₁ в момент включения (0+).

Учитывая, что суммы установившихся и свободных токов и напряжений во время переходного процесса имеют значения:

i_ПЕР = i_У + i_СВ, u_ПЕР = u_У + u_СВ ,

определим необходимые составляющие этих выражений.

Согласно законам коммутации ток в ветви с индуктивностью не может измениться скачком. Поэтому сопротивление всей цепи в момент включения (0+) будет равно:

R_В = R_Г +R_Д = 25 +15 = 40 Ом,

а токи, соответственно, будут равны:

i₁(0+) = i₂(0+) + i₃(0+),

i₂(0+) = E / R_В = 120 / 40 = 3 A,

i₃(0+) = U_Rг + A = ER_Г / R_К(R_Г +R_Д) + А = 0.

Отсюда постоянная интегрирования составит

А = – ER_Г / R_К(R_K +R_Д) = – 120·25 / 10(10 + 15) = – 2,42 А.

Выражение для переходного тока данной цепи при включении имеет вид:

i_ПЕР = i_У + i_СВ = i₂ + i_3(t) =E / R_В + А(1 – e^–t/τ ) = →

→ = 120/40 + 2,42 (1 – e^–t/0,2) = 3 + 2,42 (1 – e^–5t).

В установившемся режиме (t > 4τ ≈ 1 с; e^–5t = 0 ) ток будет равен

i₁(∞) = 3 + 2,42 ≈ 5,42 A.

Пример № 7.2

Для электрической цепи питания катушки электромагнита с защитой от коммутационного перенапряжения, представленной на рисунке п7.1.1, построить график изменения тока i₁ при продолжительности включения, превышающей в 6-10 раз постоянную времени цепи. Параметры цепи из примера № 7.1.

Решение

Определим продолжительность включения цепи. Так как постоянная времени цепи при включении равна

τ = L/(R_К + R_Д) = 5/(10 + 15) = 0,2 с,

то необходимый промежуток времени находится в интервале 1,2 – 2 с. Окончательно примем продолжительность включения (длительность одиночного прямоугольного импульса) t_И = 2 с.

В этом интервале (0 – 2 с) график тока строим по формуле

i_ПЕР = i_У + i_СВ = E / R_В + А(1 – e^–t/τ ) = 3 + 2,42 (1 – e^–5t).

После перевода ключа в разомкнутое положение (рис. п7.1б) электрическое состояние цепи в соответствии с законами Кирхгофа и Ома имеет вид

Отсутствие правой части в уравнении означает то, что переходной ток равен свободному току, а установившийся ток – нулю.

Решением этого уравнения будет выражение

i'_ПЕР = i'_СВ = А' e^–t/τ' ,

в котором постоянная времени τ' = L/(R_K +R_Г) = 5/(10 + 25) ≈ 0,14 с, а постоянная интегрирования А' равна току I₀ в ветви катушки электромагнита в момент отключения.

До коммутации с момента включения прошло 2 с, поэтому этот ток равен

I₀ = (ER_Г / R_К(R_K + R_Д)) (1 – e ^{– (t=2) ∕τ} ) = 2,42 A.

Следовательно, ток в цепи катушки будет уменьшаться до нуля в соответствии с выражением

i'_ПЕР = I₀ e^–t/τ' = 2,42 e ^{–t/ 0,14} ≈ 2,42 e ^–7t

или с учетом ранее прошедшего времени по формуле

i'_ПЕР = 2,42 e ^{–7(t – 2)} при t ≥ 2 c.

Для построения графиков переходных токов (рис. п7.2.1) в цепи при подаче прямоугольного импульса в соответствии с формулами:

i_{ПЕР Rд} = 3 + 2,42 (1 – e^–5t) при0 < t < 2 c ,

i_{ПЕР К} = 2,42 (1 – e^–5t) при0 < t < 2 c,

i'_{ПЕР К} = 2,42 e ^{–7(t – 2)} при t ≥ 2 c

вычислим их значения с шагом Δt = 0,1 с < τ_min, которые сведены в таблицу п7.1.1.

Таблица п7.1.1