Расчет токов методом узловых напряжений

Для расчета токов в ветвях методом узловых напряжений преобразуем источники э.д.с. Е₃, Е₄ и Е₅ с их внутренними сопротивлениями R₃, R₄, R₅ в источники тока. Получим схему, изображенную на рисунке 8.7. Значения токов J₄, J₅, J₃ определяются выражениями:

Для записи узловых уравнений в общепринятой форме узлы г, в, е, а обозначены цифрами 0, 1, 2, 3. В качестве базисного узла выбираем узел 0. Положительные направления узловых напряжений U₁₀, U₂₀, U₃₀ выбираем к базисному узлу.

Запишем узловые уравнения в общем виде:

.

Найдем коэффициенты узловых уравнений. Собственные проводимости узлов будут равны:

Определим общие проводимости узлов:

Рассчитываем узловые источники тока:

Подставим численные значения :

Найдем напряжение U₁₀ :

Найдем токи ветвей (в соответствии с рисунком 8.1) :

Таким образом :

I₁ » -6,146 A; I₂»9,182 A; I₃»3,037 A ;

I₄= 4,84 A; I₅=-4,342 A; I₆=-1,305 A.

Видим, что рассчитанные значения токов совпадают с полученными ранее.

8.5 Пример решения задачи на расчёт последовательного колебательного контура

Заданы схема последовательного колебательного контура, показанная на рисунке 8.8, и её параметры С=330пФ, Q=55, f₀=320кГц. Действующее значение напряжения источника 0,8В, сопротивление нагрузки R_н=450кОм. Используя известные значения параметров :

- определить неизвестные параметры контура L, R, d, Df, r, а также значения U_Ro, U_Lo, U_Co;

- построить фазо-частотную j(d) и амплитудно-частотную I(d) характеристики контура ;

- найти добротность Q_н и полосу пропускания Df_н контура при подключении нагрузки R_н. Оценить влияние сопротивления R_н на резонансную частоту контура.

Решение

Найдем характеристическое сопротивление r:

Индуктивность контура L найдем, используя выражение для r :

.

Определим сопротивление потерь контура R, воспользовавшись выражением для добротности Q :

Рассчитаем затухание d и полосу пропускания контура Df:

.

Ток контура I₀ при резонансе напряжений будет равен :

При резонансе напряжений U_Lo=U_Co, их значения рассчитаем по формуле:

U_Lo=2pf₀LI₀=2p×320×10³×749,595×10^-6×29,194×10^-3»44 B.

Для расчета Q_н и Df_н преобразуем параллельную цепь R_нC в последовательную R'C' на резонансной частоте w₀, как показано на рисунке 8.9. Комплексное сопротивление последовательной цепи R'C' будет равно:

Для параллельной цепи R_нC выражение комплексного сопротивления запишется в виде :

Приравнивая активные и реактивные составляющие сопротивлений и найдем :

Рассчитаем добротность нагруженного контура Q_н :

Тогда

.

Определим резонансную частоту f₀^’ нагруженного контура:

.

Уход резонансной частоты будет равен:

Для построения амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик воспользуемся известными выражениями:

Рассчитанные с помощью данных выражений значения I(d)/I₀ и j(d) представлены в таблице 8.1

Таблица 8.1

Зависимость фазового сдвига и тока контура от относительной расстройки

d

±0,005

±0,01

±0,02

±0,03

±0,04

±0,05

±0,06

±0,08

±0,1

±0,2

±0,3

±0,4

±0,5

±0,6

0,87

0,67

0,42

0,29

0,23

0,17

0,15

0,12

0,09

0,04

0,025

0,017

0,012

0,08

j(d) град

±28,73

±47,6

±65,3

±72,9

±76,9

±79,4

±81,1

±83,3

±84,6

±87,2

±88,0

±88,5

±88,8

±88,9

Графики зависимостей I(d)/I₀ и j(d) представлены на рисунках 8.10 и 8.11.

8.6 Пример решения задачи на расчёт резонансных явлений в сложном параллельном колебательном контуре

Задана схема сложного параллельного колебательного контура с неполным включением емкости, показанная на рисунке 8.12. Параметры контура С₂=100пФ, Z_он=12Ом, f_он=550кГц, f_от=850кГц, значение тока источника J=0,25мА.

Определить:

- емкость С₁, индуктивность L₂, характеристическое сопротивление r, добротность Q, коэффициент включения р_в полосу пропускания Df;

-сопротивление контура Z_от на частоте f_от, токи I_Lo и I_Co в емкостной и индуктивной ветвях при резонансе токов, напряжения U_к(f_от) и U_к(f_он)

Решение

Найдем коэффициент включения контура р_в:

.

Учитывая, что

Найдем С₁:

.

Определим индуктивность контура L₂:

.

Подставляя значения параметров, получим:

.

Рассчитаем характеристическое сопротивление контура r:

Сопротивление R₂=Z_он=12 Ом

Найдем добротность Q:

Полное сопротивление контура Z_от на частоте f_от будет равно:

.

Найдем токи I_Lo и I_Co :

I_Lo=I_Co=J×Q×р_в=0,25×10^-3×372,68×0,581»79,29×10^-3А=79,29мА .

Рассчитаем U_к(f_от) и U_к(f_он):

U_к(f_от)=J×Z_от=0,25×10^-3×563,208×10³»140,В;

U_к(f_он)=J×R₂=0,25×10^-3×12»3×10³,В=3мВ.

Полосу пропускания контура Df рассчитаем по формуле:

.

Эквивалентную добротность Q_э найдём, используя выражение:

Поскольку для идеализированного источника тока R_i®¥, Q_э=372,68.

Полоса пропускания Df_э равна:

.