Пример решения задачи на использование метода комплексных амплитуд и законов Кирхгофа в комплексной форме

Задача

Для схемы электрической цепи, изображенной на рисунке 8.5, с параметрами R₁=1,8кОм, R₂=3,3кОм, R₃=1,2кОм, L₁=3мГн, L₃=0,6мГн, C₁=680пФ, C₃=480пФ, е₁=24cos(10⁶t - 69⁰),B, е₂=18cos(10⁶t - 57⁰),B :

-определить методом комплексных амплитуд текущие комплексы, действующие и мгновенные значения токов ветвей;

-найти комплексные действующие значения напряжений всех пассивных элементов цепи;

-построить векторные диаграммы токов и напряжений;

-проверить выполнение условия баланса мощностей;

-определить потенциалы точек, указанных на схеме, полагая j_d=0.

Решение

Запишем систему уравнений по первому и второму законам Кирхгофа в комплексной форме:

где

.

В матричной форме система уравнений будет иметь следующий вид:

.

Определитель системы имеет вид:

.

Для определения комплексных амплитуд токов , , найдем соответствующие определители D₁, D₂, D₃:

.

Произведем вычисления:

Найдем определители D, D₁, D₂, D₃:

Рассчитаем комплексные амплитуды токов:

Действующие значения токов будут равны:

Определим текущие комплексы i₁(t), i₂(t), i₃(t):

Рассчитаем комплексные действующие значения напряжений на всех пассивных элементах:

Для построения векторной диаграммы запишем уравнение Кирхгофа для узла 1 и выражения для напряжения между узлами 1 и 2:

Выполняем построение векторных диаграмм в соответствии с рисунком 8.6.

Построение векторных диаграмм начнем с векторов токов. Выбираем масштаб: в 1см-1мА. Под углом -100,9⁰ к действительной оси откладываем вектор I₁ длиной 5,95см, из его конца под углом 61,7⁰ к действительной оси откладываем вектор I₂ длиной 4,9см, а из конца последнего откладываем под углом 128,6⁰ к действительной оси вектор I₃. Получим треугольник, одна из вершин которого находится в начале координат, что свидетельствует о равенстве нулю алгебраической суммы токов в узле. Векторные диаграммы напряжений строим исходя из приведенных выражений для напряжения между узлами схемы. Выбираем масштаб: в 1см-2В. Построим вектор , используя первое из записанных равенств. Из начала координат под углом -69⁰ к действительной оси откладываем вектор E₁ длиной 8,5см. Из его конца - вектор , длиной 5,35см, который будет параллелен вектору и противоположно ему направлен. Из конца последнего вектора перпендикулярно ему откладываем вектор длиной 8,9см и направленный влево от вектора . И, наконец, из конца вектора в противоположном ему направлении откладываем вектор длиной 4,4см. Конец вектора соединяем с началом координат и получаем вектор длиной приблизительно 1,8см, расположенный под углом -102,5⁰ к действительной оси. Аналогичным образом строим вектор , используя сначала второе, а затем и третье выражения.

Проверяем выполнение условия баланса мощностей. Комплексная мощность источников будет равна:

Комплексная мощность потребителей имеет вид:

=P_п+jQ_п .

Найдем P_п и Q_п:

Таким образом,

Сравнивая полученные результаты, видим, что , т.е. баланс комплексных, а следовательно, и активных, и реактивных мощностей выполняется.

Найдем потенциалы указанных на схеме точек: