Границя функції в точці. Основні теореми про границі.

Отже, =2.

Розглянемо третій приклад. Побудуємо графік функції

(рис. 11) і розглянемо поведінку функції при х, що наближається до 1.

При х → 1 (що наближається до 1) границі функції h(x) не існує, оскільки не існує єди­ного числа, до якого наближається функція при х, що прямує до 1.

(Якщо х наближається до 1 зліва, то h(x) наближається до 1; якщо ж х наближається до 1 справа, то h(x) наближаєть­ся до 2).

Таким чином:

Якщо при значеннях х, що прямують до дея­кого числа а, значення функції f(x) прямують до єдиного значення b, то говорять, що при х, що наближається до а, функція f(x) має границю, яка дорівнює b, і це записується так: f(x) = b або f(x) → b при х → а.

Нехай задано деяку функцію, наприклад, f(x) = 2х + 1. Розглянемо таблицю значень цієї функції в точках, що досить близько розташовані до числа 1 (і в самій точці 1), та знайдемо |х – 1| та |f(x) – 3| у відповідних точках.

З таблиці видно, що при наближенні значення аргументу до чис­ла 1 значення функції наближається до числа 3, при цьому по­хибка значень функції може бути досягнена як завгодно малою, шляхом зменшення похибки аргументу. Дійсно, взявши довільне ε > 0, тоді |f(x) – 3| < ε,

або |2х + 1 – 3| < ε; |2х – 2| < ε, 2|х – 1| < ε; |х – 1| < .

Отже, щоб похибка значень функції не перевищувала ε > 0, слід взяти значення х такі, що |х – 1| < .

Число b називається границею функції у = f(x) в точці а, якщо для будь-якого ε > 0 існує таке число δ = δ(ε) > 0, що для всіх х: 0 < |х – а| < δ, виконується нерівність |f(x) – b| < ε.(Рис. 13).

Розглянемо приклад.

Доведіть, що (2x – 1) = 5.

Розв'язання Задамо довільне ε > 0 і покажемо, що існує δ > 0 таке, що із нерівності |х - 3| < δ випливає нерівність |(2х - 1) - 5| < ε. Маємо |(2х - 1) - 5| < є,

|2х - б| < ε; |2(х -3)| < ε; 2·|х - 3| < ε; |х - 3| < Отже, якщо взяти δ = , то виконання нерівності

| x - 3| < δ приведе до виконання нерівності |(2x - 1) - 5| < ε. Отже, згідно з означенням границі маємо: (2x -1) = 5.

2. Основні теореми про границі.

У курсі математичного аналізу (в підручнику теж є доведен­ня) доводяться такі теореми, які ми приймемо без доведення.

1. Якщо функція f(x) має границю при х → а, то ця границя єдина.

2. Границя постійної функції дорівнює постійній С = С, де С — постійна.

3. Границя суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) їхніх границь, при умові, що границі доданків існують.

(f(x) ± g(x)) = f(х) ± g(x).

4. Границя добутку двох функцій дорівнює добутку границь цих функцій, якщо границі множників існують

(f(x) · g(x)) = f(x) · g(x).

5. Постійний множник можна виносити за знак границі

(Cf(x)) = С f(x).

6. Границя частки двох функцій дорівнює частці границь цих функцій, якщо границі чисельника і знаменника існують і границя знаменника не дорівнює нулю

, .

Сформульовані теореми використовуються при знаходженні гра­ниць функцій.

3. Розв'язання завдань.