Б.5 Аксиома затвердения

Условия равновесия сил, приложенных к абсолютно твердому телу, должны выполняться и для сил, которые прикладываются к деформированному телу. Однако, эти условия – необходимые, но не достаточные.

Например. Силы, приложенные к нити АВ (рис. Б.5), удовлетворяют условию равновесия при наличии условия, что они растягивают нить, а не сжимают ее.

Рисунок Б.5

Дополнение В

НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ИЗ ТЕХНИКИ, В КОТОРЫХ ИМЕЮТ МЕСТО СИЛЫ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ

Пример 1.

Рисунок В.1

Трос огибает неподвижный горизонтальный цилиндр (рис. В.1), к нижнему его концу прикреплен груз Р. Какое усилие нужно приложить ко второму концу троса, чтобы груз на упал, если угол обхвата равен β, а коэффициент трения троса о цилиндр равен f?

Решение.

Эту классическую задачу решил впервые Леонард Эйлер*. По формуле Эйлера где е – основание натурального логарифма; f – коэффициент трения о цилиндр; β – угол охвата тросом цилиндра.

Анализируя формулу, видим, что сила Q не зависит от радиуса цилиндра, а зависит от параметров f и β. Сила Q уменьшается при увеличении угла β по закону показательной функции.

Пример 2.

Какими должны быть размеры механизма L и l, изображенного на рисунке В.2, чтобы при известном коэффициенте трения скольжения (f = 0,6) между стеной и ползунами А и В механизм был самозаторможенным?

Рисунок В.2

Решение.

Реакция шероховатой стенки на ползуны состоит из нормальной составляющей и силы трения

Как известно, равновесие ползуна на стене возможно тогда, когда силы пересекаются внутри угла трения, то есть реакции невесомых стержней должны быть направлены под такими углами α, чтобы .

Из геометрических соображений имеем:

, – ответ.

Для случая, когда f = 0,6 имеем . Решая это неравенство,

имеем:

Удовлетворяют этой системе неравенств такие ограничения на геометрические параметры конструкции

Пример 3.

Определить наименьшее расстояние х (рис. В.3) центра тяжести груза весом Р от оси СС' платформы Е при котором груз с платформой будет находиться в равновесии, если коэффициент трения движущегося вертикального стержня о направляющие стойки А и В равен f (весом платформы пренебрегаем, d – диаметр движущегося стержня, h - расстояние между опорными точками стойки А и В).

Рисунок В.3

Решение.

За объект изучения берем конструкцию СС'Е, которая состоит из стержня и платформы. К ней приложены силы: . Реакции в точках А и В в предельном состоянии направлены под известным углом трения к горизонту. По теореме о трех непараллельных силах (п. 2.3), линии действия трех сил должны пересекаться в одной точке (в точке D).

Составим уравнения равновесия произвольной плоской системы сил по формулам (5.5)

Из формулы (В.3) – ответ.

Чем меньше коэффициент трения, тем больше расстояние х. На свойствах самоторможения, которые имеют место в этих примерах, базируются строительные устройства и другие механизмы.

Пример 4.

Радиус цапфы меньше радиуса круга подшипника (рис. В.4). Цапфа нагружена силой и некоторой парой, момент которой равен m. Чтобы цапфа не вращалась, а находилась в равновесии найти условие, которому должны удовлетворять: коэффициент трения скольжения f, момент m, сила , радиус цапфы r.

Рисунок В.4

Решение.

Трением качения пренебрегаем. Из-за того, что пару сил можно уравновесить только парой сил, точка приложения реакции опоры на цапфу должна находиться на определенном расстоянии от линии действия силы . Пара сил будет уравновешивать пару сил с моментом m. Обозначим ψ – угол, который образует реакция с нормалью к контактирующим поверхностям в точке А. Тогда составим уравнения равновесия параллельной плоской системы сил (формула (5.8))

Откуда . При этом ψ ≤ φ, где φ – угол трения, . То есть – ответ.

Вывод.

Если построить круг трения, радиус которого равен , то при равновесии реакция должна прикасаться, или пересекать круг трения.

Дополнение Г