Дважды центрированная матрица Z получается на основе исходной матрицы расстояний

- 255 -

D следующим образом. Сначала для каждой ее j-й строки и каждого i-го столбца находятся средние суммы квадратов их элементов

1 _k

Q_j = S D_ji² ,

k ^{i = 1}

1 _k

Q_i = S D_ji² ,

k ^{j = 1}

а также - средняя сумма квадратов элементов всей матрицы

1 _{k k}

Q = S S D_ji² .

k^{2 i = 1 j = 1}

Затем по каждому элементу D_ij матрицы эмпирических расстояний вычисляется соответствующий ему элемент z_ij дважды центрированной матрицы Z

z_ij = (D_ij - Q_i - Q_j + Q) . (9.5)

У.Торгерсон доказал, что векторы, составляющие матрицу конфигурации X, т.е. x₁, x₂, ..., x_n могут быть найдены как собственные векторы матрицы Z. Иными словами, координаты k точек x₁₁, x₁₂, x₁₃, ..., x_1k на первую ось X₁ являются элементом 1-го собственного вектора x₁. Координаты этих же точек x₂₁, x₂₂, x₂₃, ..., x_2k для второй оси X₂ окажутся элементами второго собственного вектора x₂ и т.д.

Количество необходимых осей X_i метрического многомерного шкалирования может быть определено по значениям собственных чисел l₁, l₂, l₃, ..., l_k нормированной матрицы Z, соответствующих ее собственным векторам x₁, x₂, ..., x_n. При этом можно использовать способы отбора, применяемые в компонентном анализе, например, критерий отсеивания Кеттела (см.раздел 5.10). Если этот критерий требует учета только двух собственных чисел (n = 2), график метрического многомерного шкалирования может основываться только на двух осях X₁ и X₂, что будет равносильно получению предельно наглядного плоского графика, на котором координатами точек явятся элементы первых двух собственных векторов x₁ и x₂. При n = 3 потребуются три оси X₁, X₂ и X₃ и придется использовать либо один трехмерный график, либо три картины сочетаний X₁ с X₂, X₁ с X₃ и X₂ с X₃.

Часто для улучшения возможностей интерпретации полученных графиков результатов многомерного шкалирования, конфигурация, являющаяся собственными векторами матрицы Z, подвергается ротации с применением ортогональных способов вращения осей X_i, таких как варимакс или эквимакс.

Основным недостатком метрического многомерного шкалирования является слишком жесткое увязывание эмпирических и визуальных расстояний, что часто приводит к необходимости использовать слишком много осей X_i. Последнее делает результаты недостаточно компактными и наглядными.

- 256 -