Формулы обратного преобразования Лапласа (дополнение)

Изображение X(s)	Оригинал x(t)
	a Î R, M Î R (a и М - действительные числа)	M.e-at
a = a1 + j. a2 M = M1 + j.M2 (a и М - комплекные)	2.e-a1t.[M1.cos(a2.t) - M2.sin(a2.t)]

Закон изменения выходного сигнала обычно является функцией, которую необходимо найти, а входной сигнал, как правило, известен. Некоторые типовые входные сигналы были рассмотрены в п. 2.3. Здесь приводятся их изображения:

единичное ступенчатое воздействие имеет изображение X(s) = ,

дельта-функция X(s) = 1,

линейное воздействие X(s) = .

Пример. Решение ДУ с использованием преобразований Лапласа.

Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. x(t) = 1. Тогда изображение входного сигнала X(s) = .

Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и подставляем X(s):

s²Y + 5sY + 6Y = 2sX + 12X,

s²Y + 5sY + 6Y = 2s + 12 ,

Y(s³ + 5s² + 6s) = 2s + 12.

Определяется выражение для Y:

.

Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений. Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s(s + 2)(s + 3):

= = + + =

= .

Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

М₁ + М₂ + М₃ = 0 M₁ = 2

5^.М₁ + 3^.М₂ + 2^.М₃ = 2 à M₂ = -4

6^.М₁ = 12 M₃ = 2

Следовательно, дробь можно представить как сумму трех дробей:

= - + .

Теперь, используя табличные функции, определяется оригинал выходной функции:

y(t) = 2 - 4^.e^-2t + 2^.e^-3t.