Формулы обратного преобразования Лапласа (дополнение)
| Изображение X(s) | Оригинал x(t) | |
| a Î R, M Î R (a и М - действительные числа) | M.e-at |
| a = a1 + j. a2 M = M1 + j.M2 (a и М - комплекные) | 2.e-a1t.[M1.cos(a2.t) - M2.sin(a2.t)] |
Закон изменения выходного сигнала обычно является функцией, которую необходимо найти, а входной сигнал, как правило, известен. Некоторые типовые входные сигналы были рассмотрены в п. 2.3. Здесь приводятся их изображения:
единичное ступенчатое воздействие имеет изображение X(s) = 
,
дельта-функция X(s) = 1,
линейное воздействие X(s) = 
.
Пример. Решение ДУ с использованием преобразований Лапласа.
Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. x(t) = 1. Тогда изображение входного сигнала X(s) = .
Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и подставляем X(s):
s2Y + 5sY + 6Y = 2sX + 12X,
s2Y + 5sY + 6Y = 2s + 12 ,
Y(s3 + 5s2 + 6s) = 2s + 12.
Определяется выражение для Y:
.
Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений. Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s(s + 2)(s + 3):
= 
= 
+ 
+ 
=
= 
.
Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
М1 + М2 + М3 = 0 M1 = 2
5.М1 + 3.М2 + 2.М3 = 2 à M2 = -4
6.М1 = 12 M3 = 2
Следовательно, дробь можно представить как сумму трех дробей:
= 
- 
+ 
.
Теперь, используя табличные функции, определяется оригинал выходной функции:
y(t) = 2 - 4.e-2t + 2.e-3t.
Дата добавления: 2016-02-24; просмотров: 492;