Электростатическая теорема Гаусса

Поток вектора – одно из важнейших понятий векторного анализа, оно используется при описании свойств электрического, магнитного, гидродинамического полей.

РИС.13-5

Объем жидкости, вытекающей через малую площадку за время : .

Площадку нужно выбрать такой малой, чтобы можно было полагать, что в ее пределах величина и направление вектора не меняются.

Если площадка наклонна, то , где , - внешняя нормаль площадки.

В любом случае в единицу времени через площадку будет протекать . .

Для элементарной площадки : .

Определение.

Назовем потоком вектора через элемент поверхности , характеризуемый направлением нормали , величину .

Через некоторую конечную поверхность поток получим путем сложения потоков через элементарные поверхности : .

РИС.13-6

Полученный результат справедлив для любого поля и любой поверхности, лишь бы поверхность была достаточно гладкая и не проходила бы через точки, где поле имеет особенность (точечный заряд, какой-нибудь иной разрыв величины и напряженности поля).

РИС.13-7

_{; .}

Произведение численно равно площади проекции на плоскость, перпендикулярную , т.е. площадке .

Если из точки O «видна» внутренняя сторона площадки , т.е. - внешняя нормаль, то (угол острый); напротив, если мы перенесем точку О таким образом, что станет видна «наружная» сторона площадки, то угол будет тупым, .

Следует заметить, что понятие о положительном направлении единичного вектора нормали к площадке – сугубо условное. Принято считать положительным «внешнее» направление: вектор исходит из внешней поверхности (входит во внутреннюю).

Итак: .

Телесный угол, под которым площадка видна из точки О, есть

.

Поток вектора через площадку :

.

С другой стороны: - проекция вектора на направление нормали к площадке.

Следовательно: .

Получили: поток вектора электрического поля точечного заряда через произвольно ориентированную площадку зависит только от телесного угла, под которым видна площадка из точки, в которой находится заряд .

Полный поток через конечную поверхность :

, где - положительный или отрицательный телесный угол, под которым видна из точки вся поверхность .

Если поверхность - замкнутая, то может иметь только два значения , или 0 в зависимости от того, находится заряд внутри поверхности или вне ее.

Случай, когда заряд находится на поверхности, мы не рассматриваем, так как в этом случае электрическое поле на поверхности обращается в бесконечность, и эта поверхность уже не удовлетворяет поставленному условию – чтобы на ней не было разрывов или особенностей исследуемого поля.

РИС.13-8

Угол , под которым видны площадки , одинаков по абсолютной величине, но , так как площадки обращены к внутренними сторонами.

II. Если заряд расположен вне поверхности, то прямая, проведенная из заряда, пересекает поверхность четное число раз (0 – тоже четное число!). Части поверхности и видны из точки О под углами и , которые равны по величине и противоположны по знаку, так что .

РИС.13-9

Если под понимать заряд, охватываемый поверхностью , то оба случая объединяются в один: .

Для любой системы зарядов в соответствии с принципом суперпозиции:

, ,

(суммирование по всем зарядам внутри поверхности ).

Если внутри поверхности имеется распределенный (объемный) заряд , то сумма заменится интегралом по объему: .

; .

Полученные результаты выражают фундаментальную теорему Гаусса (электростатическую).

Поток вектора напряженности электрического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен умноженной на величине заряда, охватываемого этой поверхностью.

Теорема Гаусса справедливадля любых векторных полей, напряженность которых , например, для гравитационного поля.

Теорема Гаусса несправедлива для векторных полей, напряженность которых зависит от расстояния иначе, чем , например, . В этом последнем случае поток будет зависеть от расстояния как , т. е. при , хотя свойства зарядов не меняются; этот результат противоречит здравому смыслу.

Примеры применения теоремы Гаусса

Для расчета электрических полей сложной системы зарядов теоремы Гаусса недостаточно, так как одного скалярного уравнения недостаточно для определения трех компонент вектора .

Электростатическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

РИС.13-10

Поверхностный заряд . Вектор плоскости (по соображениям симметрии).

- площадь каждого из оснований. Поток вектора через каждое из оснований , а через оба основания . Поток через боковую поверхность равен нулю, так как . Значит, поток через весь цилиндр .

С другой стороны, по теореме Гаусса имеем .

Приравнивая оба выражения, находим: Þ

.

Поле бесконечно заряженной плоскости не зависит от расстояния до плоскости постольку, поскольку это расстояние мало по сравнению с размерами плоскости. Так как по разные стороны плоскости вектора одинаковы по величине, но противоположны по направлению, поэтому при переходе через заряженную плоскость напряженность электрического поля (точнее – ее нормальная компонента) меняется скачком на :

.

Поле шара, равномерно заряженного по поверхности или по объему

РИС.13-11

Поток вектора через сферу по теореме Гаусса и . Приравнивая, находим: , т.е. как будто весь заряд находится в центре шара.

Если радиус , то , где - заряд, ограниченный сферой радиуса .

Если заряд равномерно распределен по сфере с объемной плотностью ( ), то и напряженность поля .

Если заряд равномерно распределен по поверхности сферы, то и .

Электрическое поле внутри сферической полости, равномерно заряженной по поверхности, равно нулю.

14 Дифференциальная форма теоремы Гаусса

Математическое отступление

Поток некоторого вектора через замкнутую поверхность :

.

Этот поверхностный интеграл можно преобразовать в объемный с использованием

РИС.14-1

- произвольный дифференцируемый вектор. Рассмотрим поток вектора через поверхность бесконечно малого параллелепипеда .

, где - по граням параллелепипеда, а интеграл берется по каждой грани; поскольку грани бесконечно малы, можно брать среднее значение по грани.

Рассматриваем поток через грани (1) и (2), .

Через грань (2):

.

Через грань (1):

(возникает знак минус, так как вектор внешней нормали направлен в отрицательную сторону оси ).

Суммарный поток через грани (1) и (2):

, где в скобках изменение компоненты вектора при изменении координаты от до .Из дифференциального исчисления известно, что приращение величины функции нескольких переменных при изменении одного из аргументов на бесконечно малую величину равно (с точностью до величин второго порядка малости):

, .

{По определению производной }

Поток через грани (1) и (2) будет:

.

Полный поток вектора по всем шести граням:

.

Итак, поток произвольно дифференцируемого вектора через бесконечно малый параллелепипед: .

Определение дивергенции произвольного дифференциального вектора:

.

Дивергенцией вектора в данной точке называется предел, к которому стремится отношение потока вектора через малую (произвольную) поверхность , окружающую эту точку, к величине ограниченного этой поверхностью объема при .

Из определения следует, что величина дивергенции не зависит от выбора системы координат и, следовательно, дивергенция вектора – скаляр.

Можно записать с использованием векторного оператора набла (стрелка обычно не ставится):

; .

Составим скалярное произведение:

.

Представление о дивергенции становится более наглядным, если рассматривать дивергенцию вектора скорости жидкости :

(в числителе - количество жидкости, вытекающей из объема , окружающего рассматриваемую точку.

Значит, жидкость будет вытекать из тех точек, где ; очевидно, что в этих точках должны находиться источники жидкости.

Определения

Те точки поля произвольного вектора , в которых , называют истоками тока, а называют силой или обильностью истоков.

Если в некоторых точках, говорят, что в этих точках находятся стоки поля.

Векторные поля, у которых , называют свободными от источников, или соленоидальными.

Итак, в пределе поток через бесконечно малую поверхность, окружающую данную точку: .