Метод электрических изображений

Решение задач электростатики облегчается некоторыми искуственными приемами, в частности, методом электрических изображений.

РИС.15-6

Эквипотенциаль разделяет все пространство на два полупространства I и I’.

- заряды в полупространстве I,

- заряды в полупространстве I’.

Сначала вычислили потенциал данной системы точечных зарядов и провели некоторую эквипотенциальную поверхность . Теперь поле в I полностью задается распределением зарядов и потенциалом поверхности . Поэтому, если вообразить, что поверхность является проводящей (металлической), то поле во всем пространстве не изменится. Однако поля в полупространствах I и I’ становятся независимыми друг от друга.

В результате мы получаем решение сразу двух задач.

В полупространстве I по одну сторону проводящего тела находятся точечные заряды Нужно найти электрическое поле в этом полупространстве. Оно векторно складывается из полей зарядов и зарядов, индуцированных на поверхности .

Однако в силу теоремы единственности поле индуцированных зарядов в полупространстве I эквивалентно полю, создаваемому зарядами Значит, при вычислении поля в полупространстве I можно поверхность убрать и заменить ее зарядами

Совокупность этих зарядов называется электрическим изображением зарядов в поверхности .

Пример. Точечный заряд над бесконечной проводящей плоскостью

РИС.15-7

РИС.15-8

.

При таком задании потенциала он обращается в нуль на плоскости (так как ), следовательно, - эквипотенциаль.

Теперь начинаем вычислять поверхностную плотность индуцированного заряда (Рис. 15-8)

Осевая симметрия относительно оси . - симметрична.

РИС.15-9

,

,

, .

;

,

Þ

.

Проверка: полный индуцированный на поверхности заряд должен быть равен . Убеждаемся в этом путем непосредственного интегрирования.

{новая переменная , }

= - к чему и стремились.

Энергия взаимодействия электрических зарядов

При перемещении электрических зарядов силы кулоновского взаимодействия между ними производят некоторую работу . Эта работа происходит за счет убыли энергии взаимодействия между зарядами:

, где - электрическая энергия.

РИС.15-10

Пусть имеется неподвижно закрепленный заряд +q. Если заряд –q отпустить, то он начнет двигаться в сторону заряда . Потенциальная энергия взаимодействия зарядов перейдет в кинетическую энергию движения . Вычислим потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов при условии, что .

Итак, неподвижно закреплен заряд .

РИС.15-11

Заряд приносим из в поле заряда до расстояния . При этом совершается работа . Здесь - потенциал, создаваемый зарядом в точке, где находится заряд , т.е. . Если теперь вносим из заряд в поле неподвижно закрепленного заряда до расстояния , то совершается работа

;

, , .

Энергию взаимодействия двух точечных зарядов можно записать в симметричной форме:

.

Собираем систему из трех зарядов

РИС.15-12

В поле заряда вносим заряд (из ):

.

В систему зарядов вносим заряд :

.

Полная энергия взаимодействия системы трех зарядов:

- потенциал, создаваемый зарядами и в точке, где находится заряд .

Вообще - потенциал, создаваемый в точке, где находится заряд , всеми остальными зарядами.

Потенциальная энергия взаимодействия зарядов:

.

Обобщаем полученные результаты на систему объемных и поверхностных зарядов.

Разделяя объемные заряды на элементарные и поверхностные на элементарные , получаем:

, где - значение потенциала поля всех объемных и поверхностных зарядов в элементе объема или на элементе поверхности .

Несколько простых примеров

1) Энергия уединенного проводника

= .

РИС.15-13

2)

РИС.15-14

,

, , - конденсатор запасает энергию.

Понятие о плотности энергии

Þ .

Рассмотрим простейший случай плоского конденсатора.

; .

Этот результат имеет на самом деле весьма общее значение.

Можно показать:

(это получается из ).

Носителем энергии является электрическое поле, энергия локализована в пространстве так, что в единице объема содержится

-объемная плотность электрической энергии.

Математическое отступление (теорема Грина)

(дополнительный материал)

.

Обозначим вектор как произведение некоторого скаляра на градиент другого скаляра ( - некоторые функции координат, непрерывные, конечные, имеющие производные первого и второго порядков).

;

;

.

Подставим полученный результат в формулу, выражающую теорему Гаусса:

- теорема Грина.

Другая форма записи.

Можно взять . Получим:

.

Вычитая, получим:

.

Здесь - любые непрерывные конечные скалярные функции координат, обладающие в области интегрирования производными первого и второго порядков.

Теперь рассмотрим интересующий нас случай энергии взаимодействия:

.

Положим в теореме Грина .

.

Вспоминаем: 1) ,

;

2) .

Подставляя, получаем:

.

Поверхность выделяет из объема могущие лежать в нем поверхности разрыва

(т. е. заряженные поверхности).

Полагаем, что разрыва потенциала не происходит (т.е. по обе стороны заряженной поверхности ).

Тогда, стягивая поверхность к поверхностям разрыва , получим:

где ранее - общая нормаль для и , т.е. внешняя по отношению к одному и внутренняя по отношению к другому ; теперь - некая новая нормаль, внешняя по отношению к заряженной поверхности.

Тогда .

Итак, при стягивании к получаем:

.

Соберем теперь полученные результаты.

.

Делим на :

.

Распространим теперь интегрирование по области, где существуют объемные и поверхностные заряды, но и по всей области, где существует поле всех этих зарядов. Это означает, что нужно найти такую поверхность, на которой (во всех точках которой) напряженность поля обращается в 0.

В действительности такой замкнутой оболочки, как правило, не существует, и граница поля .

На самом деле нас интересует обращение в нуль некоторых конкретных величин на так называемой границе поля. Обычно интегрируют по бесконечному пространству, но это можно делать в том и только в том случае, если интегралы всех интересующих нас величин по поверхности объема стремятся к нулю.

Если бесконечно возрастает, это значит, что площадь этой поверхности растет как . Следовательно, подинтегральные выражения в интересующих нас поверхностных интегралах должны убывать быстрее, чем при .

В нашем случае

.

В дальнейшем будем полагать, что по определению понятия полного поля интегралы по ограничивающей полное поле поверхности обращаются в нуль.

Итак: .

- это бесконечная сумма слагаемых вида .

Итак, носителем энергии является электрическое поле, энергия локализована в пространстве так, что в единице объема содержится:

- объемная плотность электрической энергии.

Математическое отступление окончилось.

Появилась некоторая проблема.

Если мы имеем один точечный заряд, то создаваемое им поле и .

Если воспользоваться формулой , то получим , так как других зарядов, кроме , нет, и никакой потенциал в точке, где он находится, не создается: .

Дело в том, что формула учитывает так называемую собственную энергию заряда. Действительно, если бы мы приписали точечному заряду конечный объем, разбили бы его на элементарные заряды и посчитали бы его энергию по формуле , то получили бы его собственную энергию .

Собственная энергия заряда – это работа сил взаимного отталкивания, которую они произвели бы, если бы все части заряда разлетелись на .

Полная энергия двух зарядов

- поле заряда №1,

- поле заряда №2,

.

.

;

( - собственные энергии, - энергия взаимодействия).

Из следует, что .

Следовательно, , т.е положительная собственная энергия зарядов всегда больше (или равна) взаимной энергии зарядов, которая может быть как положительной, так и отрицательной. Значит, при всех возможных перемещениях зарядов, не меняющих размеры и формы, можно считать аддитивными постоянными в выражении для полной энергии , изменение которой обусловлено изменением взаимной энергии зарядов .

Энергия электрического поля не обладает свойством аддитивности:

, !