Теоретическая дисперсия дискретной случайной переменной
Теоретическая дисперсия является мерой разброса для вероятностного распределения. Она определяется как математическое ожидание квадрата разности между величиной и ее средним, т.е. величины , где – математическое ожидание . Дисперсия обычно обозначается как или , и если ясно, о какой переменной идет речь, то нижний индекс может быть опущен:
. (A.8)
Из можно получить – среднее квадратическое отклонение – столь же распространенную меру разброса для распределения вероятностей; среднее квадратическое отклонение случайной переменной есть квадратный корень из ее дисперсии.
Мы проиллюстрируем расчет дисперсии на примере с одной игральной костью. Поскольку , то в этом случае равно . Мы рассчитаем математическое ожидание величины , используя схему, представленную в табл. A.5. Дополнительный столбец представляет определенный этап расчета . Суммируя последний столбец в табл. I.5, получим значение дисперсии , равное 2,92. Следовательно, стандартное отклонение ( ) равно , то есть 1,71.
Таблица A.5
1/6 | –2,5 | 6,25 | 1,042 | |
1/6 | –1,5 | 2,25 | 0,375 | |
1/6 | –0,5 | 0,25 | 0,042 | |
1/6 | 0,5 | 0,25 | 0,042 | |
1/6 | 1,5 | 2,25 | 0,375 | |
1/6 | 2,5 | 6,25 | 1,042 | |
Всего | 2,92 |
Одним из важных приложений правил расчета математического ожидания является формула расчета теоретической дисперсии случайной переменной, которая может быть записана как
. (A.9)
Это выражение иногда оказывается более удобным, чем первоначальное определение. Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения.
Дата добавления: 2016-02-20; просмотров: 677;