Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Основные теоретические сведения

1. Схема полного исследования функции и построение ее графика.

Для полного исследования функции и построения ее графика можно рекомендовать следующую примерную схему:

1) указать область определения;

2) найти точки разрыва функции, точки пересечения ее графика с осями координат;

3) установить наличие или отсутствие четности, нечетности, периодичности функции;

4) найти асимптоты графика функции;

5) исследовать функцию на монотонность и экстремум;

6) определить интервалы выпуклости и вогнутости;

7) построить график функции.

2. Правила дифференцирования. Если – постоянное число и , – некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) .	2) .	3) .
4) .	5) .	6) .

3. Таблица производных основных элементарных функций

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

Пример 1.Найти указанные пределы.

а)		б)
в)		г)

Решение:

а)

б) в)

г)

Пример 2.Исследовать функцию на непрерывность в точках , .

Решение: для точки x₁ = 3 имеем:

точка – точка разрыва II

При функция определена, следовательно не является точкой разрыва, .

Пример 3.Найти производную функции .

Решение.Логарифмируя данную функцию, получаем:

.

Дифференцируем обе части последнего равенства по х:

.

Отсюда

.

Далее

.

Окончательно имеем:

.

Пример 4.Найти производную функции y, если .

Дифференцируем обе части данного уравнения по , считая функцией от :

.

Отсюда находим

.

15. . 16. .