Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции

Мы ввели в рассмотрение числовые характеристики одной случайной величины Х - начальные и центральные моменты различных порядков. Из этих характеристик важнейшими являются две: математическое ожидание m_x и дисперсия Dx.

Аналогичные числовые характеристики - начальные и центральные моменты различных порядков - можно ввести и для системы двух случайных величин. Начальным моментом порядка k, s системы (X, Y) называется математическое ожидание произведения Х^k на Y^s:

M[Х^k Y^s]

Центральным моментом порядка k, s системы (X, Y) назы­вается математическое ожидание произведения k-й и s-й степени соответствующих центрированных величин:

На практике обычно применяются только первые и вторые моменты.

Первые начальные моменты представляют собой уже известные нам математические ожидания величин Х и Y, входящих в систему:

m_x и m_y

Совокупность математических ожиданий m_x, m_y представляет собой характеристику положения системы. Геометрически это коор­динаты средней точки на плоскости, вокруг которой происходит рас­сеивание точки (X. Y).

Кроме первых начальных моментов, на практике широко при­меняются еще, вторые центральные моменты системы. Два из них представляют собой уже известные нам дисперсии величин Х и Y.

D[X] и D [Y], характеризующие рассеивание случайной точки в направлении осей Ох а Оу.

Особую роль как характеристика системы играет второй сме­шанный центральный момент:

μ_1,1 = М [X Y],

т. е. математическое ожидание произведения центрированных величин. Ввиду того, что этот момент играет важную роль в теории систем случайных величин для него введено особое обозначение:

Кху =М[Х⁰ Y⁰]=M[(X—m_x)(Y— m_y)].

Характеристика Кxy называется корреляционным моментом (иначе — «моментом связи») случайных величин X, Y.

Для дискретных случайных величин корреляционный момент вы­ражается формулой

Кху =Σ Σ(x_i-m_x)(y_j-m_y) p_ij

i j

Выясним смысл и назначение этой характеристики. Корреляционный момент есть характеристика системы случайных величин, описывающая, помимо рассеивания величин Х и Y, еще и связь между ними. Для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю.

Таким образом, если корреляциснный момент двух случайных величин отличен от нуля, это есть признак наличия зависи­мости между ними.

Из формулы видно, что корреляционный момент характе­ризует не только зависимость величин, но и их рассеивание. Дей­ствительно, если, например, одна из величин (X, Y) весьма мало отклоняется от своего математического ожидания (почти не случайна), то корреляционный момент будет мал, какой бы тесной зависимостью ни были связаны величины (X, Y). Поэтому для характеристики связи между величинами (X, Y) в чистом виде переходят от момента к безразмерной характеристике

rху=Кху/σх σу

где σх, σу - средние квадратические отклонения величин X, Y. Эта характеристика называется коэффициентом корреляции величин Х и Y.

Очевидно, коэффициент корреляции обращается в нуль одновременно с корреляционным моментом; следовательно, для не­зависимых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю.

Случайные величины, для которых корреляционный момент (а зна­чит, и коэффициент корреляции) равен нулю, называются некорре­лированными (иногда — «несвязанными»).

Эквивалентно ли понятие некоррелированности случайных величин понятию независимости. Известно, что независимые случайные величины всегда являются некоррелированными. Остается выяснить: справедливо ли обрат­ное положение, вытекает ли из некоррели­рованности величин их независимость? Оказывается - нет. Существуют такие случайные величины, которые являются некоррелированными, но зави­симыми. Равенство нулю коэффициента корреляции - необходимое, но не доста­точное условие независимости случайных величин. Из независимости случайных величин вытекает их некоррелирован­ность; напротив, из некоррелированности величии еще не следует их независимость. Условие неза­висимости случайных величин—более жесткое, чем условие некор­релированности.

Коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только так называемую линейную зависимость. Линейная вероятност­ная зависимость случайных величин заключается в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать (или же убывать) по линейному закону. Эта тенденция к линейной зависимости может быть более или менее ярко выражен­ной, более или менее приближаться к функциональной, т. е. самой тесной линейной зависимости. Коэффициент корреляции характе­ризует степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами. Если случайные величины Х и Y связаны точной линейной функциональной зависимостью:

У=аХ + в, то rху = ±1, причем знак «плюс» или «минус» берется в зависимости от того, положителен или отрицателен коэффициент а. В общем случае, когда величины Х и Y связаны произвольной вероятностной зависимостью, коэффициент корреляции может иметь значение в пре­делах:

- 1 < rху < 1

В случае r > 0 говорят о положительной корреляции вели­чин Х и Y, в случае г<0 - об отрицательной корреляции. Положительная корреляция между случайными величинами озна­чает, что при возрастании одной из них другая имеет тенденцию в среднем возрастать; отрицательная корреляция означает, что при возрастании одной из случайных величин другая имеет тенденцию в среднем убывать.

Приведем несколько примеров случайных величин с положитель­ной и отрицательной корреляцией.

1.Вес и рост человека связаны положительной корреляцией.

2.Время, потраченное на подготовку к занятиям, и полученная оценка связаны положитель­ной корреляцией (если, разумеется, время потрачено разумно). Наоборот, время, потраченное на подготовку, и количество полученных двоек, связаны отрицательной корреляцией.

3. Производится два выстрела по цели; точка попадания первого выстрела регистрируется, и в прицел вводится поправка, пропорцио­нальная ошибке первого выстрела с обратным знаком. Координаты точек попадания первого и второго выстрелов будут связаны отри­цательной корреляцией.

Если в нашем распоряжении имеются результаты ряда опытов над системой двух случайных величин (X, Y), то о наличии или отсутствии существенной корреляции между ними легко судить в первом при­ближении по графику, на котором изображены в виде точек все полученные из опыта пары значений слу­чайных величин. Например, если наблюденные пары зна­чений величин расположи­лись следующим образом

y

x

то это указывает на наличие явно выражен­ной положительной корреля­ции между величинами. На практике, перед тем как исследовать корреляцию случайных величин, всегда полезно предвари­тельно построить наблюденные пары значений на графике для первого качественного суждения о типе корреляции.

Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

Имеются результаты n независимых опытов над системой случайных величин (Х,У)

(x₁,y₁); (x₂,y₂);….(x_n,y_n)

Требуется найти оценки для числовых характеристик

m_x,m_y,Dx,Dy и корреляционный момент Kxy

Несмещенными оценками для МОЖ будут

n

m_x˜= Σ_i=1X_i

n

n

m_у˜= Σ_i=1У_i

n

n

D˜_x= Σ (x_i-m_x˜)²

i=1

n

n

Σ (x_i-m_x˜)² (y_i-m_y˜)²

Kxy= i=1

n-1

План лекции по т. 11.5

1. Оценки для математического ожидания и дисперсии

2. Доверительный интервал. Доверительная вероятность.

3. Зависимые и независимые случайные величины