Зависимые и независимые случайные величины

При изучении систем случайных величин всегда следует обращать внимание на степень и характер их зависимости. Эта зависимость может быть более или менее ярко выраженной, более или менее тесной. В некоторых случаях зависимость между случайными вели­чинами может быть настолько тесной, что, зная значение одной случайной величины, можно в точности указать значение другой. В другом крайнем случае зависимость между случайными величинами является настолько слабой и отдаленной, что их можно практически считать независимыми.

Понятие о независимых случайных величинах—одно из важных понятий теории вероятностей.

Случайная величина У называется независимой от случайной ве­личины X, если закон распределения величины Y не зависит от того, какое значение приняла величина X.

Для непрерывных случайных величин условие независимости Y от Х может быть записано в виде:

f(y│x)=f₂(y) при любом у.

Напротив, в случае, если Y зависит от X, то

f(y│x)≠ f₂ (y)

Доказано, что зависимость или независимость случайных ве­личин всегда взаимны: т.е. если величина Y не зависит от X, то и ве­личина Х не зависит от Y.

Так как зависимость и независимость случайных величин всегда взаимны, можно дать новое определение независимых случайных величин.

Случайные величины Х и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае величины Х и Y называются зависимыми.

Для независимых непрерывных случайных величин теорема умно­жения законов распределения принимает вид:

f(x,y)=f₁(x)f₂(y),

т. е. плотность распределения системы независимых случайных величин равна произведению плотностей распределения от­дельных величин, входящих в систему. Данное условие может рассматриваться как необходимое и до­статочное условие независимости случайных величин.

Часто по самому виду функции f(x, у) можно заключить, что случайные величины X, Y являются независимыми, а именно, если плотность распределения f(x, у) распадается на произведение двух функций, из которых одна зависит только от х, другая—только от у, то случайные величины независимы.

Вышеизложенный критерий суждения о зависимости или незави­симости случайных величин исходит из предположения, что закон распределения системы нам известен. На практике чаще бывает на­оборот: закон распределения системы (X, Y) не известен; известны только законы распределения отдельных величин, входящих в систему, и имеются основания считать, что величины Х и Y независимы. Тогда можно написать плотность распределения системы как произведение плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему.

Остановимся несколько подробнее на важных понятиях о «зави­симости» и «независимости» случайных величин.

Понятие «зависимости» случайных величин, которым пользуются в теории вероятностей, несколько отличается от обычного по­нятия «зависимости» величин, которым оперируют в математике. Действительно, обычно под «зависимостью» величин подразумевают только один тип зависимости - полную, жесткую, так называемую функциональную зависимость. Две величины Х и Y называются функционально зависимыми, если, зная значение одной из них, можно точно указать значение другой.

В теории вероятностей мы встречаемся с другим, более общим, типом зависимости - с вероятностной или «стохастической» зави­симостью. Если величина Y связана с величиной Х вероятностной зависимостью, то, зная значение X, нельзя указать точно значение Y, а можно указать только ее закон распределения, зависящий от того, какое значение приняла величина X.

Вероятностная зависимость может быть более или менее тесной; по мере увеличения тесноты вероятностной зависимости она все более приближается к функциональной. Таким образом, функциональную зависимость можно рассматривать как крайний, предельный случай наиболее тесной вероятностной зависимости. Другой крайний случай - полная независимость случайных величин. Между этими двумя край­ними случаями лежат все градации вероятностной зависимости - от самой сильной до самой слабой. Те физические величины, которые на практике мы считаем функционально зависимыми, в действитель­ности связаны весьма тесной вероятностной зависимостью: при заданном значении одной из этих величин другая колеблется в столь узких пределах, что ее практически можно считать вполне опреде­ленной. С другой стороны, те величины, которые мы на практике считаем независимыми, в действительности часто находятся в некоторой взаимной зависимости, но эта зависимость настолько слаба, что ею для практических целей можно пренебречь.

Вероятностная зависимость между случайными величинами очень часто встречается на практике. Если случайные величины Х и Y находятся в вероятностной зависимости, это не означает, что с из­менением величины Х величина Y изменяется вполне определенным образом; это лишь означает, что с изменением величины Х величина Y имеет тенденцию также изменяться (например, возрастать или убывать при возрастании X). Эта тенденция соблюдается лишь «в среднем», в об­щих чертах, и в каждом отдельном случае от нее возможны отступления.

Рассмотрим, например, две такие случайные величины: Х - рост наугад взятого человека, Y—его вес. Очевидно, величины Х и Y находятся в определенной вероятностной зависимости; она выражается в том, что в общем люди с большим ростом имеют больший вес. Можно даже составить эмпирическую формулу, приближенно заменяю­щую эту вероятностную зависимость функциональной. Такова, например, общеизвестная формула, приближенно выражающая зависимость между ростом и весом: Y (кг) == Х (см) - 100.

Формулы подобного типа, очевидно, не являются точными и вы­ражают лишь некоторую среднюю, массовую закономерность, тенден­цию, от которой в каждом отдельном случае возможны отступления.

В вышеприведенном примере мы имели дело со случаем явно выраженной зависимости. Рассмотрим теперь такие две случайные величины: Х—рост наугад взятого человека; Z—его возраст. Очевидно, для взрослого человека величины Х и Z можно считать практически независимыми; напротив, для ребенка величины Х и Z являются зависимыми.

Приведем еще несколько примеров случайных величин, находя­щихся в различных степенях зависимости.

1. Из камней, составляющих кучу щебня, выбирается наугад один камень. Случайная величина Q — вес камня; случайная величина L—наибольшая длина камня. Величины Q и L находятся в явно выраженной вероятностной зависимости.

2. Производится стрельба ракетой в заданный район океана. Величина ∆Х - продольная ошибка точки попадания (недолет, пере­лет); случайная величина ∆V—ошибка в скорости ракеты в конце активного участка движения. Величины ∆Х и ∆V явно зависимы, так как ошибка ∆V является одной из главных причин, порождаю­щих продольную ошибку ∆Х.