Оценки для математического ожидания и дисперсии

Пусть имеется случайная величина Х с математическим ожида­нием m и дисперсией D, оба параметра неизвестны. Над величиной Х произведено n независимых опытов, давших результаты X₁, Х₂, …, Xn. Требуется найти состоятельные и несмещенные оценки для парамет­ров m и D.

В качестве оценки для математического ожидания естественно предложить среднее арифметическое наблюденных значений

n

m =m* = Σ_i=1X_i

n

Нетрудно убедиться, что эта оценка является состоятельная: согласно закону больших чисел, при увеличении n величина m˜ схо­дится по вероятности к m. Оценка m˜ является также и несмещенной, так как

n

M[m˜]= Σ_i=1m =m

. n

Дисперсия этой оценки равна

D[m˜] =1/n D

Эффективность или неэффективность оценки зависит от вида закона распределения величины X. Можно доказать, что если вели­чина Х распределена по нормальному закону, дисперсия будет минимально возможной, т. е. оценка m˜ является эффективной. Для других законов распределения это может быть и не так.

Перейдем к оценке для дисперсии D. На первый взгляд наиболее естественной оценкой представляется статистическая дисперсия:

n

D*= Σ (x_i-m˜)²

i=1

n

где m˜ = Σⁿ_i=1X_i

n

Эта оценка состоятельна.

Для того, чтобы оценка D* была также и несмещенной берут, так называемую «исправленную статистическую дисперсию»

n

D˜= Σ (x_i-m˜)²

i=1

n-1

Данная оценка является и состоятельной.

Можно принять следующие правила обработки ограниченного по объему статистического материала.

Если даны значения х₁, х₂, .... х_n, полученные в n независимых опытах случайной величиной Х с неизвестными математическим ожи­данием m и дисперсией D, то для определения этих параметров сле­дует пользоваться приближенными значениями (оценками):

n

m˜ = Σ_i=1X_i

n

n

D˜= Σ (x_i-m˜)²

i=1

n-1

Доверительный интервал. Доверительная вероятность.

Мы рассмотрели вопрос об оценке неизвест­ного параметра а одним числом. Такая оценка называется «точечной». В ряде задач требуется не только найти для параметра а подходя­щее численное значение, но и оценить его точность и надежность. Требуется знать - к каким ошибкам может привести замена пара­метра а его точечной оценкой а˜ и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за известные пределы? Такого рода задачи особенно актуальны при малом числе наблю­дений, когда точечная оценка а в значительной мере случайна и приближенная замена а на а˜ может привести к серьезным ошибкам. Чтобы дать представление о точности и надежности оценки а, в математической статистике пользуются так называемыми дове­рительными интервалами и доверительными вероят­ностями.

Пусть для параметра а получена из опыта несмещенная оценка а˜. Требуется оценить возможную при этом ошибку. Назначим некоторую достаточно большую вероятность β (например, р=0,9, 0,95 или 0,99) такую, что событие с вероятностью β можно считать практически достоверным, и найдем такое значение ε, для которого

Р(│а˜-а│< ε) = β

Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникаю­щей при замене а на а˜, будет ± ε; большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью α= 1-β. Перепишем в виде:

Р(а˜ - ε) <а<а˜+ ε) = β

Это равенство означает, что с вероятностью β неизвестное зна­чение параметра а попадает в интервал

I β =( а˜ - ε; а˜+ ε )

При этом необходимо отметить одно обстоятельство. Ранее мы не­однократно рассматривали вероятность попадания случайной величины в заданный неслучайный интервал. Здесь дело обстоит иначе: вели­чина а не случайна, зато случаен интервал I β. Случайно его положение на оси абсцисс, определяемое его центром а; случайна вообще и длина интервала 2ε, так как величина е вычисляется, как правило, по опытным данным. Поэтому в данном случае лучше будет толковать величину р не как вероятность «попадания» точки а в ин­тервал I β, а как вероятность того, что случайный интервал I β накроет точку а.

 

0 а

 

Вероятность β принято называть доверительной вероятностью, а интервал I β - доверительным интервалом. Границы интервала I β

а₁ = а˜ - ε; а₂ = а˜+ ε называются доверительными границами.

Дадим еще одно истолкование понятию доверительного интервала: его можно рассматривать как интервал значений параметра а, совме­стимых с опытными данными и не противоречащих им. Действительно, если условиться считать событие с вероятностью а=1-β практически невозможным, то те значения параметра а, для которых │а˜-а│ > ε, нужно признать противоречащими опыт­ным данным, а те, для которых │а˜-а│< ε, - совместимыми с ними. Перейдем к вопросу о нахождении доверительных границ а₁ и a₂. Пусть для параметра а имеется несмещенная оценка а˜. Если бы нам был известен закон распределения величины а, задача нахожде­ния доверительного интервала была бы весьма проста: достаточно было бы найти такое значение ε, для которого

Р(│а˜ -а│<ε) = β

 

123

---

Дата добавления: 2016-02-20; просмотров: 918;

---