П. 2.5. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ (ЗАКОН) РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В п. 2.1 дано определение непрерывной случайной величины. Возможные значения непрерывной случайной величины перечислить нельзя, так как их число бесконечно велико, и поэтому закон распределения в виде таблицы также нельзя составить, если не прибегнуть к упрощениям.
Возьмем бесконечный интервал (–¥, х), х – произвольное действительное число. Предположим, что в результате испытания случайная величина X приняла одно из значений x1, xi (–¥,x) т.е. оказалось, что Х<х. Событие, состоящее в том, что при одном испытании случайная величина X примет значение, меньшее, чем некоторое число х, имеет определенную вероятность, зависящую от х. Вероятность события = {Х<х} является функцией х:
Р (X < x) = F (x). (2.5.1)
Определение. Интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения случайной величины X называется вероятность Р (Х < х) события, состоящего в том, что случайная величина X примет значение, меньшее х.
На числовой прямой равенство P (X < x) = F (x) определяет вероятность попадания случайной точки X левее точки х.
Свойства функции F(x).
1°. F (x) – величина безразмерная и изменяется на множестве [0, 1], т. e. 0 ≤ F(x) ≤ 1, так как F(x) – вероятность события.
2°, F(x) – функция неубывающая, т. е. F (x1)≤ F(x2) при х1 < х2.
Свойство очевидно, если принять во внимание геометрический смысл F(x).
3°. P(x1 ≤ X < x2) = F (x2) – F (x1) (2.5.2)
Доказательство. Событие, состоящее в осуществлении неравенства Х < х2, может быть представлено как сумма двух несовместных событий:
(Х < х2) = (x1≤X < x2) + (X < x1),
Тогда
P (Х < х2) = P (x1≤X < x2) + P (X < x1),
или
P (x1≤X < x2) = P (Х < х2) – P (X < x1) = F (x2) – F (x1).
4° F(–¥) = 0 и F(+¥) = 1.
Свойство 4° вытекает из определения (2.5.1). График функции F(x) см. на рис. 1.
Интегральную функцию можно составить и для дискретной случайной величины:
Дата добавления: 2016-02-20; просмотров: 584;