П. 2.10. ПОНЯТИЕ О ЗАКОНЕ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Теория вероятностей обобщает реальные свойства случайных явлений и величин. Важным в процессе обобщения является выражение объективно существующих закономерностей в виде закона больших чисел.

Используя понятие случайной величины, математического ожидания и дисперсии П. Л. Чебышев сформулировал, а А. А. Марков дополнил закон больших чисел.

Определение. Говорят, что последовательность случайных величин

X₁, X₂, X₃, … X_п (2.10.1)

имеющих математические ожидания М (Х₁), М (Х₂), М (Х₃), ..., М (Х_п), подчиняется закону больших чисел, если среднее арифметическое этих случайных величин при n→¥ с вероятностью, неограниченно приближающейся к 1, сколько угодно мало (меньше чем на ε > 0) отличается от среднего арифметического их математических ожиданий, т. е. при n→¥:

(2.10.2)

Общие условия, которым должны удовлетворять случайные величины Х₁, Х₂, Х₃, ..., Х_п, достаточные для большинства практических встречающихся случаев, были найдены П. Л. Чебышевым, а затем еще более расширены А. А. Марковым. Кратко они формулируются так.

Теорема Чебышева. Если величины Х₁, Х₂, Х₃, ..., Х_п, попарно независимы и их дисперсии D (X)_i ограничены, т. е. D (X _i) ≤ C, где С – некоторое число, не зависящее от п, то предельное равенство (2.10.2) выполняется, т. е. для Х₁, Х₂, Х₃, ..., Х_п справедлив закон больших чисел.

Теорема Бернулли. Пусть производятся п испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одной и той же вероятностью р. Обозначим через x_i число появлений события А в i-м испытании. Возможные значения x_i: x_i = 1, если событие А наступило, и x_i = 0, если А не произошло в этом испытании. Сумма х₁ + х₂ + х₃ + ... + х_п = т есть число появлений А в п испытаниях. Тогда

M (x_i) = 1∙p + 0 (1-p) = p,

(Можно доказать, что если p + g = l, то max pg = l/4.) Условия ограниченности дисперсии выполнено. Поэтому к случайной величине x_i применим закон больших чисел.

Подставив в (12.10.2) вместо число и вместо число пр, получим

, при n→¥ (2.10.3)

т. е. с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при числе испытаний n→¥ относительная частота появления события в одном испытании сколь угодно мало отличается от его вероятности. Это и есть доказательство теоремы Бернулли, как частного случая закона больших чисел, сформулированного П. Л. Чебышевым.

Закон больших чисел имеет важное практическое значение. Именно, на этом законе основано утверждение, что среднее арифметическое результатов измерений считается наиболее точным, наиболее близким к истинному значению измеряемой величины. Закон больших чисел широко используется в статистике, на нем основан выборочный метод, рассмотренный в следующей главе.

П. 2.11. ВЫВОДЫ

Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное числовое значение, заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины бывают дискретные и непрерывные. Для дискретных величин законом распределения является таблица, в которой указаны возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности. Для непрерывных величин законом распределения служит интегральная функция распределения и дифференциальная функция распределения Функция F(x) является наиболее общей формой задания законов распределения случайных величин как дискретных, так и непрерывных и определяет все другие формы, а именно, дифференциальную функцию, таблицу и т. д.

Примерами распределений для дискретной случайной величины являются биномиальное распределение и распределение Пуассона. Примером распределения непрерывной случайной величины является нормальное распределение. Нормальное распределение является предельным законом. Величины, с распределением, близким к нормальному, очень часто встречаются в сельскохозяйственном производстве.

Важное практическое значение при обработке результатов наблюдений имеет правило трех сигм.

На основании изучения закона больших чисел можно сделать вывод: при соблюдении условий, оговоренных в п. 2.10, и при неограниченном возрастании числа наблюдений практически достоверно, что среднее значение результатов наблюдений случайной величины сколь угодно мало отличается от ее математического ожидания.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Что является предметом теории вероятностей?

2. Что называется событием?

3. Дайте определение событий: а) случайного; б) достоверного; в) невозможного.

4. Какие события называются совместными, несовместными, равновозможными, образующими полную группу, противоположными? Приведите примеры.

5. Что называется относительной частотой события? Какие свойства относительной частоты вы знаете?

6. Дайте статистическое определение вероятности события.

7. Приведите определение вероятности события через показатели, благоприятствующие наступлению события.

8. Что такое сумма и произведение двух событий, нескольких событий?

9. Сформулируйте теорему сложения вероятностей в случаях: а) события несовместны; б) события совместны.

10. Дайте определение условной вероятности события.

11. Сформулируйте теорему умножения вероятностей и ее следствия. Запишите формулу полной вероятности события. Докажите формулу Байеса.

12. В чем состоит задача вычисления вероятности частоты появления события. Запишите формулу Бернулли и определите смысл входящих в нее параметров.

13. Сформулируйте локальную теорему Муавра - Лапласа.

14. Сформулируйте интегральную теорему Муавра - Лапласа.

15. Сформулируйте определение случайной величины.

16. Какие случайные величины называются дискретными? Непрерывными? Приведите примеры случайных величин.

17. Дайте определение закона распределения случайной величины.

18. Что такое интегральная функция распределения случайной величины, каковы ее свойства?

19. Как определяется дифференциальная функция распределения, каковы ее свойства?

20. Дайте определение математического ожидания М (x) случайной величины. Какая существует связь между математическим ожиданием и средним арифметическим возможных значений случайной величины?

21. Дайте определение дисперсии D (x) и среднего квадратического отклонения σ_x. Какие свойства случайной величины характеризуют D (x) и σ_x?

22. Приведите свойства М (x) и D (x).

23. Дайте определение законов распределения: биномиального, Пуассона.

24. Дайте определение нормального закона распределения случайной величины.

25. Начертите кривую нормального распределения.

26. Как найти вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал?

27. Напишите формулу для определения вероятности попадания случайной величины в интервал, симметричный относительно математического ожидания.

28. Сформулируйте закон больших чисел.

29. Сформулируйте теорему Бернулли; ее практическое значение.