Логическая равнозначность

Это сложное высказывание истинно тогда, когда истинны или ложны одновременно оба высказывания.

Отсюда следует, что вне зависимости от смысла, равнозначными являются как истинные, так и ложные высказывания.

Например,

Импликация

Это сложное высказывание ложно только тогда, когда X₁ – истинно, а X₂ – ложно.

Читается: если X₁, то X₂. При этом X₁ – посылка, X₂ – следствие.

Если посмотреть на таблицу истинности, то может показаться странным название этой функции, т.к. из него следует, что истинным может быть высказывание, составленное из двух ложных.

Но в действительности, все верно, т.к. содержанием высказываний в алгебре логики не интересуются.

Тогда из ложной посылки может следовать ложное следствие и это можно считать верным:

Эквивалентности

В некоторых случаях сложное и длинное высказывание можно записать более коротким и простым без нарушения истинности исходного высказывания. Это можно выполнить с использованием некоторых эквивалентных соотношений.

Дизъюнкция:

т.е. истинность высказывания не изменится, если его заменить более коротким, таким образом, это правило приведения подобных членов:

– постоянно истинное высказывание.

0 x = x

x₁ x₂ = x₂ x₁

- (переместительный) коммуникативный закон.

x₁ х₂ х₃ = (x₁ х₂) х₃ = x₁ (х₂ х₃)

- сочетательный закон.

Конъюнкция:

х х х х... х х х= х

правило приведения подобных членов:

1 x = х

0 x = 0 - постоянно ложное высказывание

x x = 0 - постоянно ложное высказывание

Сложение по mod 2

x x x ... x = х – при нечетном числе членов, 0 - при четном числе членов

Правило де Моргана

x₁ x₂ ... x_n = x₁ & x₂& ... & x_n

x₁ x₂ ... x_n = x₁ & x₂ & ... & x_n

Докажем для двух переменных с помощью таблицы истинности:

Х1	Х2	Х1 Х2	X1 & X2

Операция поглощения:

Х XY = X или в общем виде X X*f(X,Y,Z...) = X;

Операция полного склеивания:

Операция неполного склеивания: