Основные характеристики вычислительной техники

Быстродействие ЭВМ рассматривается с двух сторон. С одной стороны, оно характеризуется количеством элементарных операций, выполняемых процессором за секунду. Под элементарной операцией следует понимать любую простейшую операцию типа сложения, пересылки, сдвига и т. д. С противоположной стороны, быстродействие

ЭВМ существенно зависит от того, как организована ее память. Время, необходимое на поиск нужной информации в памяти, существенно сказывается на быстродействии ЭВМ.

Емкость, или объем памяти определяется предельным количеством информации которое можно разместить в памяти ЭВМ. Емкость памяти следует измерять в байтах. Как уже было отмечено, память ЭВМ делится на внутреннюю и внешнюю. Внутренняя, или оперативная память, по своему объему у различных типов машин различна и определяется системой адресации ЭВМ. Емкость внешней памяти благодаря блочной структуре и съемным конструкциям накопителей практически безгранична.

Точность вычислений зависит от количества разрядов, используемых для представления одного числа. Современные ЭВМ снабжаются 32- или 64-разрядными микропроцессорами, что достаточно для обеспечения весьма высокой точности расчетов в самых различных приложениях. Однако, если этого окажется мало, можно использовать удвоенную или утроенную сетку разрядов.

Система команд — это перечень команд, которые способен исполнить процессор ЭВМ. Система команд устанавливает, какие именно операции может выполнять процессор, сколько операндов необходимо указать в команде, какой вид (формат) имеет команда для ее распознания. Количество главных разновидностей команд очень невелико, с их помощью ЭВМ способны совершать операции сложения, вычитания, умножения, деления, сравнения, передачи числа из регистра в регистр, записи в память, преобразования из одной системы счисления в другую и т. д. В том случае, когда это необходимо, выполняется модификация команд, учитывающая специфику вычислений. Обычно в ЭВМ используется от десятков до нескольких сотен команд (с учетом их модификации). На текущем этапе развития вычислительной техники используются два основных пути при формировании системы команд процессора. С одной стороны, это обычный подход, тесно свзязанный с разработкой процессоров с полным набором команд, — архитектура CIS (Complete Instruction Set Computer — компьютер с полным набором команд). С другой стороны, это реализация в ЭВМ неполного набора простейших, но часто употребляемых команд, что позволяет значительно упростить аппаратные средства процессора и повысить eго быстродействие в несколько раз — архитектура RISC (Reduced Instruction Set Computer — компьютер с сокращенным набором команд).

Стоимость ЭВМ зависит от большого количества факторов, в частности от быстродействия, емкости памяти, системы команд и т. д. Основное влияние на стоимость оказывает конкретная комплектация ЭВМ и, в главную очередь, внешние устройства, входящие в конечный состав машины. Также, стоимость программного обеспечения довольно весомо влияет на стоимость ЭВМ.

Надежность ЭВМ — это способность компьютера сохранять свои свойства при заданных условиях эксплуатации в течение некоторого промежутка времени. Количественной оценкой надежности ЭВМ, включающей элементы, отказ которых приводит к отказу всей машины, могут служить такие показатели как:

· вероятность безотказной работы за определенное время при данных условиях эксплуатации;

· наработка ЭВМ на отказ;

· среднее время восстановления машины и др.

К основным характеристикам вычислительной техники относятся ее эксплуатационно-технические характеристики, такие, как быстродействие, емкость памяти, точность вычислении и др. Быстродействие ЭВМ рассматривается в двух аспектах. С одной стороны, оно характеризуется количеством элементарных операций, выполняемых центральным процессором в секунду. Под элементарной операцией понимается любая простейшая операция типа сложения, пересылки, сравнения и т. д. С другой стороны, быстродействие ЭВМ существенно зависит от организации ее памяти. В зависимости от области применения выпускаются ЭВМ с быстродействием от нескольких сотен тысяч до миллиардов операций в секунду. Для решения сложных задач возможно объединение нескольких ЭВМ в единый вычислительный комплекс с требуемым суммарным быстродействием. Информационная ёмкость, или объем, памяти определяется максимальным количеством информации, которое можно разместить в памяти ЭВМ. Обычно емкость памяти измеряется в байтах. Внутренняя, или оперативная память, по своему объему у различных классов машин различна и определяется системой адресации ЭВМ. Емкость внешней памяти из-за блочной структуры и съемных конструкций накопителей практически неограниченна.
Точность вычислений зависит от количества разрядов, используемых для представления одного числа. Современные ЭВМ комплектуются 32- или 64-разрядными микропроцессорами, что вполне достаточно для обеспечения высокой точности расчетов в самых разнообразных приложениях. Однако, если этого мало, можно использовать удвоенную или утроенную разрядную сетку. Стоимость ЭВМ зависит от множества факторов, в частности от быстродействия, емкости памяти, системы команд и т. д. Большое влияние на стоимость оказывает конкретная комплектация ЭВМ и, в первую очередь, внешние устройства, входящие в состав машины. Наконец, стоимость программного обеспечения ощутимо влияет на стоимость ЭВМ.
Надежность ЭВМ - это способность машины сохранять свои свойства при заданных условиях эксплуатации в течение определенного промежутка времени. Количественной оценкой надежности ЭВМ, содержащей элементы, отказ которых приводит к отказу всей машины, могут служить следующие показатели:

· вероятность безотказной работы за определенное время при данных условиях эксплуатации;

· наработка ЭВМ на отказ;

· среднее время восстановления машины и др.

В более сложных системах отказы отдельных элементов приводят к некоторому снижению эффективности функционирования, а не к полной потере работоспособности в целом. Имеют значение и другие характеристики вычислительной техники, например: универсальность, программная совместимость, вес, габариты, энергопотребление и др. Они принимаются во внимание при оценивании конкретных сфер применения ЭВМ.

Перспективы развития вычислительных средств

В настоящее время стремление к реализации новых потребительских свойств ЭВМ стимулирует работы по созданию машин пятого и последующего поколений. Вычислительные средства пятого поколения, кроме более высокой производительности и надежности при более низкой стоимости, обеспечиваемых новейшими электронными технологиями, должны удовлетворять качественно новым функциональным требованиям:

· работать с базами знаний в различных предметных областях и организовывать на их основе системы искусственного интеллекта;

· обеспечивать простоту применения ЭВМ путем реализации эффективных систем ввода-вывода информации голосом, диалоговой обработки информации с использованием устройств распознавания речи и изображения;

· упрощать процесс создания программных средств путем автоматизации синтеза программ.

В настоящее время ведутся интенсивные работы как по созданию ЭВМ пятого поколения традиционной (неймановской) архитектуры, так и по созданию и апробации перспективных архитектур и схемотехнических решений. В плане создания принципиально новых архитектур вычислительных средств большое внимание уделяется проектам нейрокомпьютеров, базирующихся на понятии нейронной сети (структуры на формальных нейронах), моделирующей основные свойства реальных нейронов. В случае применения био- или оптоэлементов могут быть созданы соответственно биологические или оптические нейрокомпьютеры. Важным направлением развития вычислительных средств пятого и последующих поколений является интеллектуализация ЭВМ, связанная с наделением её элементами интеллекта, интеллектуализацией интерфейса с пользователем и др. Работа в данном направлении потребует создания ЭВМ определённой архитектуры, используемых в системах управления базами знаний, - компьютеров баз знаний, а также других подклассов ЭВМ. В заключение отметим, что ряд названных вопросов реализован в перспективных ЭВМ пятого поколения либо находится в стадии технической проработки, другие - в стадии теоретических исследований и поисков.

Система счисления.

Способ представления изображения произвольных чисел с помощью некоторого конечного множества символов назовем системой счисления.

В повседневной практике мы пользуемся, как правило, десятичной системой счисления. Ответ на вопрос: " Почему именно эта система счета получила наибольшее распространение? " - сейчас дать затруднительно. В литературе, как правило, в качестве обоснования приводится тот факт, что на руках человека - в сумме 10 пальцев. Вряд ли это обоснование можно принимать всерьез. На практике мы сталкиваемся и с более сложными, в частности, со смешанными системами. Например, система счета времени, где за единицу принята секунда, минута, час, сутки, неделя, месяц, год. Или система счета денег, до недавнего времени применявшаяся в Англии (пенс, шиллинг, фунт):

12п = 1ш, 20ш = 1ф.

Или еще более интересная - римская система счета, которая исользует символы: I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M - 1000.

Эта система является особой и применяется редко (циферблат, архитектура, история и т.д.)

Системы счисления принято делить на:

• Позиционные.
• Непозиционные.
• Символические.

Начнем с последних. В этих системах каждому числу ставится в соответствие свой символ. Эти системы не находят широкого применения в силу естественной их ограниченности (алхимия, кодированные сообщения) -бесчисленного множества символов, которое требуется для изображения всех возможных чисел. Поэтому эти системы из рассмотрения опустим.

Системой счисления называется совокупность цифровых знаков и правил их записи, применяемая для однозначного представления чисел. Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.

Непозиционными называются такие системы, в которых применяется неограниченное количество цифр, причем значение каждой цифры не зависит от ее позиции в числе. Примером непоционной является римская система счисления. Непозиционные системы в настоящее время используются редко, в основном для целей нумерации.

Позиционными называются такие системы, в которых применяется ограниченный набор цифр, причем значение каждой цифры находится в строгой зависимости от ее позиции в числе. Количество различных цифр, применяемых в данной системе, называется ее основанием.

Покажем некоторые свойства позициооных систем на примере известной всем с детства десятичной системы. В ней применяется 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , поэтому ее основанием является число 10. Произвольное десятичное число X₁ = 118,375 можно представить в следующем виде:

118,375 = 1 · 10 ² + 1 · 10 ¹ + 8 · 10 ⁰ + 3 · 10 ^-1 + 7 · 10 ^-2 + 5 · 10 ^-3.

В левой части равенства записано символическое изображение числа. Правая часть равенства показывает, что все цифры числа в разных позициях имеют разный вес. Каждая позиция с присвоенными ей номером и весом называется разрядом числа. В частности, единица в первом разряде означает сотню, а единица во втором разряде - тодько десяток. Анализ структуры числа X₁ показывает, что любое десятичное число может быть представленно в виде суммы попарных произведений:

(1.1)

где X_i = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } - некоторая цифра данной системы;

10 ⁱ - разряднй вес некоторой цифры;

J - количество разрядов целой части числа (до запятой);

F - количество разрядов в дробной части числа (после запятой).

В определении позиционных систем счисления не наложено никаких ограничений на величину основания. Отсюда очевидно, что основанием системы счисления может быть не только число 10, но и любое другое целое число. При этом структурно некоторое число в другой системе счисления также будет состоять из суммы попарных произведений цифр и степеней основания системы. Если основанию любой системы счисления присвоить, по аналогии с числом десять, обозначение 10, то формула (1.1) будет справедливой для записи чисел в любой системе счисления.

В частности, можно, например, представить двоичную систему счисления, основанием которой является число 2, и следовательно для изображения числа применяется всего две цифры - ноль ( 0 ) и единица ( 1 ), т.е X_i = { 0, 1 }.

Основание системы счисления - 2 можно записать с помощью имеющихся цифр только одним способом, т.е. в виде числа 10. Таким образом, любое число в двоичной системе записывается в виде комбинации нулей и единиц, расставленных согласно формуле (1.1). Так, рассмотренное выше десятичное число 118,375 в двоичной системе запишется следующим образом: X₁ = 118,375₁₀ = 1110110,011₂ , или :

1110110,011₂ = 1· 2 ⁶ + 1· 2 ⁵ + 1· 2 ⁴ + 0· 2 ³ + 1· 2 ² + 1· 2 ¹ + 0· 2 ⁰ + 0· 2 ^-1 + 1· 2 ^-2 + 1· 2 ^-3 = 118,375₁₀ .

Нижний индекс справа от числа, показывает величину основания системы счисления, в которой записано данное число. Используя формулу (1.1), можно записать это же число в восьмеричной системе счисления.

X₁ = 166,3₈ = 1 · 8² + 6 · 8 ¹ + 6 · 8 ⁰ + 3 · 8 ^-1 = 64+ 48 +6 + 3/8 = 118,375₁₀ .

Анализ формулы (1.1) позволяет установить основные свойства позиционных систем счисления.

1) Минимальным, отличным от нуля числом, является X_min = 10 ^-F, которое численно оно равно весу самого младшего разряда. Данное число носит название "единицы самого младшего разряда" (единицы СМР) или "минимального шага приращения" (для целых чисел при F = 0 X_min = 1);

2) Максимальным в любой позиционной системе счисления является число X_max = 10 ^J - 10 ^-F, когда во всех разрядах записано самая старшая цифра системы ( для целых чисел при F = 0 X = 10 ^J - 1);

3) Общее количество чисел, в которых можно записывать n - разрядную сетку ( n = J + F ), равно N = 10 ⁿ . Соответственно, если известно N, то количество разрядов, обеспечивающее запись любого числа из множества N , равно n = log₁₀ N .

Например, в один байт ( 8 двоичных разрядов ) можно записать 2 ⁸ = 256 двоичных чисел (основание системы счисления - 2) от 00000000 до 11111111 .

Позиционные системы счисления.

Само название этих систем указывает на связь значимости числа и его изображения от позиции.

Позиция - некоторое место, в котором может быть представлен лишь один символ.

Примером позиционной системы счисления является десятичная система.

В этой системе число представляется в виде полинома "n" степени, а изображается совокупностью некоторых символов, каждый из которых имеет различный вес в зависимости от позиции, которую он занимает.

a₄a₃a₂a₁ - число; a₁, a₂, a₃, a₄ - символы.

Всем позициям приписывается различный вес, который чаще всего выбирается как целая степень основания системы.

Основание системы счисления - число, которое является мощностью множества различных символов, допустимых в каждой позиции числа.

Так для десятичной системы допускаемыми являются символы: 0, 1, 2, 3,..., 9.

Обозначим через "p" основание системы счисления. Тогда веса позиций числа могут быть представлены так:

... p³ p² p¹ p⁰.

Само число, изображение которого имеет вид, например, a₄a₃a₂a₁ может быть представлено так:

a₀p⁰ + a₁p¹ + a₂p² + a₃p³ - это развернутая запись числа в позиционной системе.

Например:

973₁₀ = 3*10⁰ + 7*10¹ + 9*10² = 3 + 70 + 900.

В отличие от системы счета времени, десятичная система является однородной, т.е. одних и тех же десятичных символов достаточно, чтобы изобразить любое число. В то время как в смешанных системах нужно придумывать все новые и новые символы для того, чтобы изобразить следующее по величине число.

Таким образом, однородность - одно из важных свойств позиционных систем.

Любое число X в позиционной системе счисления можно представить в виде:

n

X = ±p^m Σ a_ip^-i,

i=1

где

m - число позиций или разрядов, отведенное для изображения целой части числа.

n - общее число разрядов в числе.

a_i - любой допустимый символ в разряде, т.е. a_i = {0, 1, 2,..., p-1}.

p - основание системы счисления.

Например:

- 961,13 = - (9*10² + 6*10¹ + 1*10⁰ + 1*10^-1 + 3*10^-2).

1. Заметим, что число, равное основанию системы счисления, т.е. "p", в самой системе с основанием "p" записывается только в двух позициях (разрядах), а именно так:

p_p = 10_p

2. Заметим также, что разделение числа на две части - дробную и целую - имеет смысл лишь в позиционных системах.

3. Заметим, что основание системы для представления числа мы можем выбрать произвольное. Такой же произвол мы можем допустить и в назначении весов разрядов. Однако наиболее целесообразно считать его, как и в десятичной системе, естественным, т.е. ввести в качестве степеней основания числа натурального ряда:

4. ... +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3 ...

Выбор системы счисления.

Возникает естественный вопрос, является ли общепринятая система счисления с основанием 10 оптимальной? Если да, то с каких позиций? Вопрос заслуживает внимания, т.к. одна из первых ВМ (ENIAC) использовала именно десятеричную систему.

Прямой и однозначный ответ на этот вопрос невозможен. Можно дать много различных ответов и все они будут справедливы лишь для каких-то определенных условий.

Введя общее представление числа в позиционной системе, мы усомнились в достоинствах десятеричной не потому, что она вдруг проявила свои отрицательные качества, а потому что ее преимущества явны лишь при ручных методах счета. Нас же интересуют, прежде всего, такие системы счисления, которые будут удобны и экономичны при автоматических вычислениях с помощью ЭВМ. Мы должны также помнить, что необходимо для этого иметь саму ЭВМ.

Покажем, что десятеричная система не устарела. Например, для производства экономичных расчетов обычно приходится иметь дело с очень большими объемами числовой информации. Тогда с введением новой системы пришлось бы воспользоваться следующей цепочкой действий:

Т.е. нужно было бы из десятеричной системы перевести информацию в "p"-систему, произвести над ней необходимые операции в системе "p", затем снова сделать, но обратный перевод из "p"-системы в десятеричную, т.к. отказ от десятеричной системы потребовал бы и устранения первого этапа.

Если преобразование из десятеричной системы в "p"-систему требует не слишком много времени, в то же время, если выполнение функции F будет в системе "p" сделано много быстрее, то тогда эта цепочка действий будет оправданной.

Но для экономической информации характерно то, что очень несложные операции нужно производить всякий раз над большим объемом исходных данных. Так что в данном случае вряд ли целесообразно переходить к новой системе. Это и является объяснением того факта, что в настоящее время значительное число ЭВМ строится именно в десятеричной системе счисления.

Однако ЭВМ предназначены не только для выполнения экономических расчетов. В большинстве случаев неэкономических применений ЭВМ имеют дело с задачами, в которых общий объем исходных данных невелик, но общее число необходимых операций огромно. Именно для такого рода применений рассмотренная последовательность действий может оказаться выгодной.

Очевидно, что можно, не сужая области применения ЭВМ, задаться величиной некоторого самого большого числа. Пусть это будет число M. Воспользуемся позиционной системой счисления с основанием "p", и тогда потребуется "n" разрядов, чтобы представить все M чисел:

M = pⁿ - 1 ( от 0 до pⁿ - 1 )

M ≈ pⁿ

log_pM = n*log_pp, где log_pp = 1, тогда n = log_pM.

Оборудование, которое нужно для хранения любого числа от 0 до M пропорционально произведению основания системы счисления на количество разрядов.

Таким образом, при заданном числе M количество цифроразрядов при основании "p":

p*n = p* log_pM, (6.1)

где:

цифроразряд - эквивалент оборудования,

p*n - число устойчивых состояний элемента памяти,

n - число разрядов в числе.

Рассмотрим пример:

Пусть есть 24 цифроразряда.

Количество цифроразрядов говорит как о величине оборудования, так является характеристикой быстродействия. Как увидим позже, в позиционной системе счисления времена выполнения операций могут быть выражены через количество разрядов в числе.

Считаем "p" - величиной непрерывной. Находим производную от (6.1) по величине "p". Берем вторую производную по "p". Увидим, что первая производная обращается в нуль, а вторая - больше нуля при p = e. Т.е. получаем минимум при p = e.

Таким образом, оптимальной по оборудованию и быстродействию является система с основанием е.

Но е = 2,718...

Поэтому оптимальной является система с основанием р = 3.

Построим функцию, характеризующую отношение оборудования в системе с основанием "p" относительно системы с основанием "2".

Т.е. 10-я система является более чем в 1,5 раза неэкономичной по отношению ко 2-ой системе, а 3-я система оказывается лишь на 5% экономичнее 2 й.

Действительное обоснование экономичности той или иной системы выглядит несколько сложнее.

Когда говорим об экономичности, то, прежде всего, имеем ввиду объем оборудования, сосредоточенный в АУ и ЗУ. Объем оборудования УУ не находится в столь простой зависимости от "p" да и в АУ учитывается лишь оборудование, связанное с элементами хранения информации, но не логическое оборудование.

Более детальный анализ показывает, что наиболее эффективными являются системы с основанием, кратным 2, т.е. 2, 4, 8, 16. Специфика построения схем ЭВМ показывает, что наиболее эффективной является 16-ая система. Именно она и применяется в современных машинах.

Мы же будем считать эффективной систему с основанием 2 по причине ее наибольшего распространения.

Вот основные соображения в пользу этой системы:

1. Высокая информационная эффективность.

2. Простота и надежность работы 2-ого элемента хранения информации (т.е. имеющего 2 устойчивых состояния)

3. Совпадение максимального числа состояний элемента с максимальным числом значений двоичной переменной, дающее возможность не строить специальные устройства для выполнения логических операций.

4. Простота построения схем для выполнения простых операций.

5. Более высокая скорость выполнения основных арифметических операций.

Последнее требует специального пояснения. В данном случае рассматриваются не отрезки времени, необходимые для выполнения тех или иных операций, а скорость, определяемая косвенно по относительному числу операций, которые требуется провести для выполнения, например, деления или умножения в двоичной или прочих системах.

Если "p" - основание системы счисления, то максимальная цифра в одном разряде - (p-1).

Если N - максимальное число, то для его изображения требуется log_pN разрядов.

Для того чтобы выполнить операцию умножения, например, потребуется (p-1)*log_pN операций сложения. Если сравнить это число операций в системе с основанием "p" и отнести его к числу операций в системе с основанием "2", то может получиться следующая функция:

(p-1)*log_pN p-1

___________ _____

f(p)= =

1*log₂N log₂p

Это лишь основные соображения в пользу выбора в качестве основы двоичную систему счисления. Существуют и другие (контроль, диагностика неисправностей), но мы их из рассмотрения опустим.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Всякий раз, когда используется для вычислений система счисления, отличная от фактической, необходимо выполнить перевод 10 => p, p => 10.

Есть системы, дающие значительно более высокие скорости, но и требующие большего количества оборудования.

Этот перевод может быть выполнен:

1. вручную,

2. на ЭВМ (с помощью специальных программ).

Во всех этих случаях принципиально используется различные подход и методы. В связи с тем, что нам придется готовить информацию для программы вручную, мы рассмотрим, прежде всего, методы, направленные на ручной перевод.

Итак, имеем дело с позиционной системой счисления с основанием "p", с естественными весами разрядов.

В качестве промежуточной используется, естественно, десятичная система. Вначале число переводится из системы "p" в 10-ую, затем из 10-ой в систему с нужным основанием.

Мы отступим от этого правила и воспользуемся алгоритмом непосредственного перевода из системы с основанием "p" в систему с основанием "q".

Обычно произвольное число, содержащее целую и дробную части, переводят по частям: вначале целую, затем дробную часть.

Рассмотрим перевод целых чисел:

Перевод осуществляется по следующему правилу: исходное число, записанное в системе с основанием "p" и его частные последовательно делятся на число "q", представленное в системе "p". Деление производится в системе с основанием "p" и продолжается до получения результата, меньшего "q". Первый остаток, меньший "q", дает младшую цифру числа N_q. Остатки от деления дают остальные цифры числа N_q.

Пример:

1. 31₁₀ => 2; 31₁₀ = 11111₂

2.

3. 31₈ => 3; 31₈ = 221₃ =

4. 2*3² + 2*3¹ + 1*3⁰ = 18 + 6 + 1 = 25₁₀.

5.

6. 31₈ => 10; 31₈ = 25₁₀.

7.

8. 111111₂ => 10; 111111₂ = 63₁₀.

9.

Перевод дробных чисел из системы с основанием "p" в систему с основанием "q" выполняется по следующему правилу: исходное число D_p последовательно умножается на число "q", записанное в системе "p". Целые части получаемых произведений дают "p"-ые записи "q"-х цифр, начиная со старшей. Умножение производится в системе с основанием "p" до получения необходимой точности.

Пример:

1. 0,5314₈ => 5; 0,5314₈ = 0,3141...₂.

2. 0,318₁₀ => 2; 0,318₁₀ = 0,01010...₂.

3. 0,5314₈ => 10; 0,5314₈ = 0,674...₁₀

Перевод чисел из одной системы счисления в другую, когда одно основание является целой степенью другого.

Как мы уже знаем, в ЭВМ наибольшее применение находит система с основаниями 2, 4, 8, 16, т.е. системы которые кратны степени 2. Поэтому целесообразно рассмотреть лишь правила перевода чисел в этих системах. Аналогичные правила будут справедливы и для других систем. Допустим, что имеется некоторое целое число N₈ в 8-ой системе. Оно может быть представлено в виде:

N₈ = a₁*8^n-1 + a₂*8^n-2 + a₃*8^n-3 + ...

+ a_n-2*8² + a_n-1*8¹ + a_n*8⁰.

Пусть каким-либо образом мы получили запись этого числа в виде двоичного, т.е.:

N₂ = b₁*2^k-1 + b₂*2^k-2 + ...

+ b_k-2*2² + b_k-1*2¹ + b_k*2⁰.

Разделим эти выражения на 2³ = 8:

a₁*8^n-2 + a₂*8^n-3 + a₃*8^n-4 + ... + a_n-1*8⁰ + a_n*8^-1

-------

дробная часть

b₁*2^k-4 + b₂*2^k-5 + ... + b_k-3*2⁰ + b_k-2*2^-1 + b_k-1*2^-2 + b_k*2^-3

-------------------------

дробная часть

Так как числа были равны, то получается одинаковые частные и одинаковые остатки:

a_n*8^-1 = b_k-2*2^-1 + b_k-1*2^-2 + b_k*2^-3. (6.2)

Если снова разделим целые части на 2³ = 8, то опять получим равные частные и равные остатки.

При этом видим, что каждой восьмеричной цифре соответствует её двоичный эквивалент. Поэтому перевод выполняется простой заменой цифры восьмеричной системы её двоичным эквивалентом и обратно.

Пример:

62,753₈ = 110010,111101011₂

Аналогично для 4-ой системы:

321,2233₄ = 111001,10101111₂

Аналогично для 16-ой системы:

1D876,72 = 00011101100001110110,01110010₂

Из этих примеров видим, что чем выше основание системы счисления, тем компактнее запись.

Если умножить последние соотношения (6.2) на 8, то:

a_n*8^-1*8 = (b_k-2*2^-1 + b_k-1*2^-2 + b_k*2^-3)*2³

a_n = b_k-2*2² + b_k-1*2¹ + b_k*2⁰

Алгебра логики

Кроме обычной алгебры существует специальная, основы которой были заложены английским математиком XIX века Дж. Булем. Эта алгебра занимается так называемым исчислением высказываний.

Ее особенностью является применимость для описания работы так называемых дискретных устройств, к числу которых принадлежит целый класс устройств автоматики и вычислительной техники.

При этом сама алгебра выступает в качестве модели устройства. Это означает, что работа произвольного устройства указанного типа может быть лишь в каком-то отношении описана с помощью построений этой алгебры. Действительное реальное устройство физически работает не так, как это описывает алгебра логики. Однако применение положений этой теории позволяет сделать ряд полезных в практическом отношении обобщений.

Рассмотрим некоторую схему и представим ее в виде так называемого "черного" ящика.

Будем считать, что внутреннее содержимое ящика неизвестно.

X₁,X₂,X₃ – входные сигналы, F – выходной сигнал.

Считаем так же, что схема А – элементарная, т.е. нет другой схемы Б, меньшей, чем А, которая бы содержалась в А.

Построим абстрактное устройство из элементарных устройств, типа А, Б, В и т.д. Очевидно, более сложное устройство можно построить из простых путем:

1. последовательного соединения элементов;

2. параллельного соединения;

3. перестановки входов элементов.

Тогда роль Y₁ для второго элемента Б будет играть:

Параллельное соединение элементов не меняет функции, поэтому, с точки зрения логики, этот тип соединения не используется. Физически иногда все же применяют параллельное соединение элементов, но в основном для того, чтобы, например, усилить сигнал.

В связи с этим, параллельное соединение элементов в алгебре логики не рассматривается.

Функция, которую выполняет элемент, вообще говоря, зависит от переменных, которые подаются на вход.

Поэтому перестановка аргументов влияет на характер функции.

Таким образом, произвольные, сколь угодно сложные в логическом отношении схемы, можно строить, используя два приема:

1. последовательное соединение элементов;

2. перестановка входов элементов.

Этим двум физическим приемам в алгебре логики соответствуют:

1. принцип суперпозиции (подстановка в функцию вместо ее аргументов других функций);

2. подстановка аргументов (изменение порядка записи аргументов функций или замена одних аргументов функции другими).

Итак, физическая задача построения и анализа работы сложного устройства заменяется математической задачей синтеза и анализа соответствующих функций алгебры логики.