Число состояний. Плотность состояний

В классической физике состояние частицы определяется заданием трех координат Х, У, Z и трех проекций импульса на оси координат р_х, р_у, р_z.

Если рассмотреть 6-мерное пространство с осями координат Х, У, Z, р_х, р_у, р_z , то состояние частицы в нем в любой момент времени определяется фазовой точкой с координатами Х, У, Z, р_х, р_у, р_z.

Такое пространство называют фазовым. Элемент этого фазового пространства координат обозначим

DГ_V = dx dy dz.

Элемент объема фазового пространства импульсов обозначим

DГ_р = dр_х dр_у dр_z.

У квантовых частиц различным элементам объема шестимерного фазового пространства отвечают различные квантовые состояния микрочастицы, если размер этих элементов объема не меньше h³ (h - постоянная Планка).

В квантовой статистике элементарный объем шестимерного фазового пространства (элементарная ячейка) DГ_V = h³, а элемент трехмерного пространства импульсов

, (38)

где V - элементарный объем для свободной частицы, т. е. фазовое пространство квантуется.

Найдем число состояний частицы из интервала энергий (W, W + dW).

Для этого проведем в пространстве импульсов две сферические поверхности с радиусами р и р + dp (рис. 9).

Рис. 9

Шаровой слой имеет объем

V = 4p p²dp.

Число элементарных ячеек в этом слое

. (39)

Поскольку каждой фазовой ячейке отвечает одно состояние микрочастицы, то число состояний, приходящихся на интервал dp, заключенный между р и p + dp, т. е.

g(p) dp = z.

Если свободные частицы не взаимодействуют друг с другом, то энергия частицы

а ее изменение

.

Тогда

р² =2mW;

.

Следовательно, число состояний

. (40)

Таким образом, плотность состояний

. (41)

Замечание: Для электронов каждой фазовой ячейке соответствуют два состояния, отличающиеся друг от друга направлением спина, т. е. существуют спиновые состояния.

Следовательно, для электронов число состояний необходимо удвоить:

, (42)

. (43)

Плотность состояний

. (44)

Если функцию распределения Ферми - Дирака

умножить на число состояний g(W)dW, то получим полную функцию распределения Ферми -Дирака при Т = 0 К

. (45)

Так как в интервале энергий от 0 до W_F функция распределения Ферми-Дирака f_ф = 1, то после интегрирования (5.82) в пределах от 0 до W_F получим число частиц

. (46)

Учитывая, что n₀ = N / V - концентрация электронного газа в металлах, получим формулу энергии Ферми:

. (47)

Зная функцию распределения электронов по энергиям можно найти среднюю энергию электрона при Т = 0 К:

.

Максимальная скорость электронов на уровне Ферми

или v_F » 10⁶ м/c.

Средняя квадратичная скорость

.