Интеграл Мора. Определение перемещений

Рассмотрим два состояния стержневой системы:

1) грузовое состояние (рис. 6.6 а), в котором действующая нагрузка вызывает внутренние усилия M_P, Q_P, N_P;

2) единичное состояние (рис. 6.6 б), в котором действующая единичная сила P=1 вызывает внутренние усилия .

Рис. 6.6

Внутренние силы грузового состояния на деформациях единичного состояния , , совершают возможную работу

–V_ij= dx.

А единичная сила P=1 единичного состояния на перемещении грузового состояния D_P совершает возможную работу

W_ij=1×D_P=D_P .

По известному из теоретической механики принципу возможных перемещений в упругих системах эти работы должны быть равными, т.е. W_ij= –V_ij. Значит, должны быть равны и правые части этих выражений:

D_P= dx .

Эта формула называется формулой Мора и используется для определения перемещений стержневой системы от внешней нагрузки.

Рассмотрим отдельные случаи применения формулы Мора.

1. В балках (рис. 6.7 а) возможны три случая:

− если > 8, в формуле оставляется только член с моментами:

D_P= ;

− если 5≤ ≤8, учитываются и поперечные силы:

D_P= dx;

− если < 5, формула Мора дает большие погрешности. В этом случае перемещения следует определять методами теории упругости.

Рис. 6.7

2. В рамах (рис. 6.7 б) элементы в основном работают только на изгиб. Поэтому в формуле Мора учитываются только моменты.

В высоких рамах учитывается и продольная сила:

D_P= dx .

3. В арках (рис. 6.7 в) необходимо учитывать соотношение между основными размерами арки l и f:

1) если £ 5 (крутая арка), учитываются только моменты;

2) если >5 (пологая арка), учитываются моменты и продольные силы.

4. В фермах (рис. 6.7 г) возникают только продольные силы. Поэтому

D_P = dx= = .

В о п р о с ы

1. Чем отличаются действительная и возможная работы?

2. Как формулируется теорема Бетти?

3. Какие состояния рассматриваются при определении перемещений?

4. Чем отличаются определение перемещений в рамах и фермах?

Л е к ц и я 7