Сущность метода сил

В рассматриваемом методе расчета статически неопределимых систем за основные неизвестные принимаются силы (внутренние усилия). Поэтому он и называется методом сил.

Изучим метод сил на примере предыдущей балки (рис. 7.2 а).

Потребуем, чтобы ее ЗС (рис. 7.2 а) и ОС (рис. 7.2 б) были эквивалентными. Для этого перемещение в направлении исключенной связи должно равняться нулю:

D=0.

По принципу суперпозиции, это перемещение равно сумме перемещения D_X (рис. 7.3 а) от неизвестной реакции X и перемещения D_P (рис. 7.3 б) от заданной силы P. Поэтому

D=D_X+D_P=0.

Это уравнение, учитывающее геометрические особенности системы, называется уравнениемсовместности деформаций.

Рис. 7.3

Так как сила X неизвестна, перемещение D_X непосредственно определить нельзя. Поэтому рассмотрим единичное состояние (ЕС) основной системы, где действует только единичная сила P=1 (рис. 7.3 в). Перемещение d, возникающее в нем в направлении единичной силы, называется податливостью, и его уже можно определить.

По закону Гука, в линейно-упругой системе D_X=d X. Тогда последнее уравнение принимает вид

d X+D_P=0.

Его называют каноническим уравнением метода сил. Такое уравнение получается для любой один раз статически неопределимой системы. Если известны d и D_P, из него определяется неизвестная сила: X= –D_P/d .

Если в системе имеется n лишних связей, то нужно исключить все эти лишние связи и выбрать ОС с n неизвестными X₁, X₂, ..., X_n. Тогда, из условий эквивалентности ЗС и ее ОС (условий равенства нулю перемещений в направлениях исключенных связей) можно составить n уравнений совместности деформаций:

= + +×××+ +D_1P=0,

= + +×××+ +D_2P=0,

. . . . . . . . . . . . . .

D_n= + +×××+ +D_nP =0.

При рассмотрении n различных единичных состояний системы и определении податливостей по различным направлениям эти уравнения приводятся к системе уравнений:

+ X₂+×××+ X_n+D _P=0,

+ X₂+×××+ X_n+D_2P=0,

. . . . . . . . . . . . .

+ X₂+×××+ X_n+D_nP=0.

Она называется системой канонических уравнений метода сил. Здесь – главные коэффициенты, – боковые коэффициенты. Свободные члены D_iP называются грузовыми коэффициентами.

Систему с большим количеством уравнений необходимо решать на компьютере. С этой целью введем матричные обозначения:

d= ; X = ;D_P = ; 0 = ,

где d – матрица податливости, X – вектор неизвестных, D_P – вектор нагрузки, 0 – нуль-вектор. В результате этого система канонических уравнений принимает вид:

d X +D_P = 0.

Из этого матричного уравнения определяется вектор неизвестных:

X =–d^–1D_P.

Здесь d^–1 – обратная матрица податливости.