Возможные работы внешних и внутренних сил
Малое перемещение, допускаемое связями системы, называется возможным перемещением. Причиной возможного перемещения могут быть другие силы, изменение температуры, осадки опор и др.
Работа силы на ее возможном перемещении называется возможной работой. Возможное перемещение обозначим Dij, а возможную работу Wij (здесь i означает направление, а j – причину).
Например, если в некоторой точке балки действует сила Pi, а затем в другой точке начнет действовать другая сила Pj, то балка в точке действия силы Pi получит возможное перемещение Dij (рис. 6.4 а). Так как в это время сила Pi остается постоянной, совершаемая ею возможная работа определяется площадью прямоугольника (рис. 6.4 б):
Wij=PiDij .
Таким образом, возможная работа равна произведению силы на возможное перемещение.
Рис. 6.4
При определении возможной работы следует рассматривать два состояния системы: в одном из них действуют заданные, а во втором – возможные силы.
Теорема Бетти. Возможная работа сил i-го состояния на перемещениях j-го состояния равна возможной работе сил j-го состояния на перемещениях i-го состояния.
Доказательство. Пусть на систему воздействуют силы Pi и Pj. Приложим их в разной последовательности и рассмотрим два состояния системы:
1) прикладывается сила Pi, затем сила Pj (рис. 6.5 а);
2) прикладывается сила Pj, затем сила Pi (рис. 6.5 б).
Рис. 6.5
В этих состояниях силы на действительных перемещениях совершают действительные, а на возможных перемещениях – возможные работы. Выражения работ в обоих состояниях будут:
Wij= PiDii+ PjDjj+PiDij; Wji= PjDjj+ PiDii+PjDji.
На основании принципа суперпозиции результат воздействия этих сил не зависит от порядка их приложения. Следовательно, обе работы равны: Wij=Wji. Отсюда получаем
PiDij=PjDji .
Теорема доказана. Ее часто называют теоремой о взаимности работ.
Теперь определим возможную работу внутренних сил. Для этого рассмотрим два состояния системы:
1) действует сила Pi и вызывает внутренние усилия Mi, Qi, Ni;
2) действует сила Pj, которая в пределах малого элемента dx вызывает возможные деформации
DMj= dx, DQj=m dx, DNj= dx.
Внутренние усилия первого состояния на деформациях (возможных перемещениях) второго состояния совершат возможную работу
–dVij=MiDMj+QiDQj+NiDNj= dx+m dx+ dx .
Если проинтегрировать это выражение по длине элемента l и учесть наличие в системе n стержней, получим формулу возможной работы внутренних сил:
–Vij= dx .
Дата добавления: 2016-01-29; просмотров: 1165;