Возможные работы внешних и внутренних сил

Малое перемещение, допускаемое связями системы, называется возможным перемещением. Причиной возможного перемещения могут быть другие силы, изменение температуры, осадки опор и др.

Работа силы на ее возможном перемещении называется возможной работой. Возможное перемещение обозначим Dij, а возможную работу Wij (здесь i означает направление, а j – причину).

Например, если в некоторой точке балки действует сила Pi, а затем в другой точке начнет действовать другая сила Pj, то балка в точке действия силы Pi получит возможное перемещение Dij (рис. 6.4 а). Так как в это время сила Pi остается постоянной, совершаемая ею возможная работа определяется площадью прямоугольника (рис. 6.4 б):

Wij=PiDij .

Таким образом, возможная работа равна произведению силы на возможное перемещение.

Рис. 6.4

При определении возможной работы следует рассматривать два состояния системы: в одном из них действуют заданные, а во втором – возможные силы.

Теорема Бетти. Возможная работа сил i-го состояния на перемещениях j-го состояния равна возможной работе сил j-го состояния на перемещениях i-го состояния.

Доказательство. Пусть на систему воздействуют силы Pi и Pj. Приложим их в разной последовательности и рассмотрим два состояния системы:

1) прикладывается сила Pi, затем сила Pj (рис. 6.5 а);

2) прикладывается сила Pj, затем сила Pi (рис. 6.5 б).

Рис. 6.5

В этих состояниях силы на действительных перемещениях совершают действительные, а на возможных перемещениях – возможные работы. Выражения работ в обоих состояниях будут:

Wij= PiDii+ PjDjj+PiDij; Wji= PjDjj+ PiDii+PjDji.

На основании принципа суперпозиции результат воздействия этих сил не зависит от порядка их приложения. Следовательно, обе работы равны: Wij=Wji. Отсюда получаем

PiDij=PjDji .

Теорема доказана. Ее часто называют теоремой о взаимности работ.

Теперь определим возможную работу внутренних сил. Для этого рассмотрим два состояния системы:

1) действует сила Pi и вызывает внутренние усилия Mi, Qi, Ni;

2) действует сила Pj, которая в пределах малого элемента dx вызывает возможные деформации

DMj= dx, DQj=m dx, DNj= dx.

Внутренние усилия первого состояния на деформациях (возможных перемещениях) второго состояния совершат возможную работу

–dVij=MiDMj+QiDQj+NiDNj= dx+m dx+ dx .

Если проинтегрировать это выражение по длине элемента l и учесть наличие в системе n стержней, получим формулу возможной работы внутренних сил:

–Vij= dx .








Дата добавления: 2016-01-29; просмотров: 1159;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.005 сек.