Согласованный фильтр и его основные характеристики

6.2.1 Импульсная характеристика и отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра

Согласованным фильтром называется линейная цепь, которая для определенной аддитивной смеси сигнала и шума обеспечивает на выходе наибольшее отношение сигнал/шум. Согласованный фильтр можно рассматривать как оптимальный, у которого критерием оптимальности является достижение максимума отношения сигнал/шум. Для согласованного фильтра не важно как искажается выходной сигнал по отношению к входному. Важно, чтобы при этом достигалось максимально возможное по отношению к любым другим фильтрам отношение сигнал/шум на выходе.

Найдем импульсную характеристику согласованного фильтра h_сф(t) и отношение сигнал/шум на его выходе q_вых в случае, если на вход поступает аддитивная смесь сигнала и шума

где S(t) - импульсный детерминированный сигнал с энергией

t₀ – момент окончания сигнала; n(t) - белый шум с корреляционной функцией .

Входное отношение сигнал/шум, характеризующее процесс определим как отношение сигнал/шум по энергии:

.

Выходное отношение сигнал/шум, характеризующее отношение сигнал/шум на выходе фильтра, определим как отношение сигнал/шум по мощности, равное квадрату пикового отношения сигнал/шум:

, (6.13)

где S_вых(t₀) – выходное значение сигнала в момент t₀, при котором выходной импульс достигает максимума; – дисперсия выходного шума в момент t₀.

В силу принципа суперпозиции величины и S_вых(t₀) могут быть найдены раздельно. В частности

(6.14)

Для определения воспользуемся формулой (4.14), в которой положим и учтём, что

Тогда

(6.15)

где сначала проинтегрировали по t'₂ с учетом фильтрующих свойств дельта-функции, а затем t₀ - t'₁ заменили на .

Подставив (6.14) и (6.15) в (6.13), получим

(6.16)

Существует неравенство Буняковского-Шварца

(6.17)

причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда

(6.18)

где k - коэффициент пропорциональности.

Применяя неравенство (6.17) к выражению (6.16), получим

(6.19)

Неравенство (6.17) превращается в равенство, если импульс­ную характеристику согласно условию (6.18) выбрать в следующем виде:

(6.20)

Выражение (6.20) определяет импульсную характеристику согласованного фильтра, так как при этом достигается максимум отношения сигнал/шум на выходе. Этот максимум равен отношению сигнал/шум на входе независимо от формы сигнала S(t):

или

что для пикового отношения сигнал/шум соответствует равенству

(6.21)

где индекс СФ указывает, что равенство (6.21) достигается только в согласованном фильтре.

На рис. 6.2 показана методика построения импульсной характеристики , когда известна форма сигнала S(t). Пусть сигналом является треугольный импульс длительности t₀ (рис. 6.2,а). Строим его зеркальное отображение S(- t) путем поворота импульса вокруг оси ординат (рис. 6.2,б). Затем задерживаем импульс на время t₀ и изменяем масштаб по оси ординат, то есть учитываем коэффициент пропорциональности k (рис. 6.2,в).

Рис. 6.2