Степень вершины графа. Число ребер графа.

Теория графов

Графы

Бинарное отношение на конечном множестве X есть ориентированный конечный граф (орграф) RÍX². Таким образом, всякий орграф определяется множествами:

X={X₁,X₂,…,X_n} – множеством вершин графа и множеством упорядоченных пар (кортежей)

R={<x_i,x_j>|x_iRx_j} – множеством дуг графа.

Общепринято обозначать орграфы в виде

G(X,U), где

X – множество вершин орграфа;

U – множество дуг орграфа, или в виде

G(x, гx), где

ГX = {Гx₁,Гx₂,…,Гx_n} – множество образов элементов множества X, т.е. отображение X в X, понимая термин отображения как точечно-множественное отображение.

Наряду с орграфами в приложениях рассматриваются неориентированные графы. Неориентированный граф является частным случаем орграфа, в котором для каждой дуги <X_j,X_i>, т.е. бинарное отношение R обладает свойством симметрии. Если, кроме того, бинарное отношение R обладает свойством рефлексивности, то соответствующий ему ориентированный граф есть орграф-толерантность, содержащий дуги типа петля <X_j,X_i> для всех вершин графа.

При геометрической реализации неориентированного графа вместо двух дуг <X_i,X_j> и <Xj,Xi>, соединяющих вершины X_i и X_j, употребляется одно ребро (X_i,X_j), не имеющее ориентации. На рис. 3.1.1 приведены геометрические реализации орграфов (слева) и их неориентированных аналогов – неориентированных графов (справа). G(X,U), если X'ÍX; U'ÍU, т.е. подграф G' получим из графа G, если уберем какое-либо число вершин или ребер (дуг).

Две вершины графа называются смежными, если они соединены с началом другой.

Дуги называются смежными, если конец одной из них совпадает с началом другой.

Некоторая последовательности смежных дуг называется путем, а последовательность смежных ребер называется цепью.

Замкнутый путь называется контуром, а замкнутая цепь – циклом.

Сформулированные определения удобно представить в виде следующей таблицы:

Рассмотрим еще некоторые определения, которые нам понадобятся в дальнейшем. Пусть (цепь) называется элементарным, если он проходит через вершины графа по одному разу.

Путь (цепь) называется простым, если он проходит через дуги графа по одному разу. В противном случае путь (цепь) называется составным. Аналогично определяются и простые контуры и циклы.

Цепь (цикл) называется гамильтоновой, если она проходит через все вершины графа по одному разу, т.е. элементарная цепь, проходящая через все вершины графа, есть гамильтонова цепь.

Цепь (цикл) называется эйлеровой, если она проходит через все ребра по одному разу, т.е. простая цепь (цикл), содержащая все ребра графа есть эйлерова цепь (цикл).

Аналогично определяются гамильтоновы и эйлеровы путь и контуры.

Симметричный граф Неориентированный граф

Граф-толерантность Неориентированный граф

Граф-толерантность Неориентированный граф

Граф-декартово произведение Неориентированный полный граф

(с полным насыщением)

Рис. 1

Степень вершины графа. Число ребер графа.

Вершина X_i называется инцидентной дуге (ребру) графа, если она является началом или концом этой дуги (ребра).

Степенью вершины графа называют число дуг (ребер), инцидентных данной вершине. Степень обозначается P(X_i).

Для ориентированного графа различают полустепень захода P⁺ - число дуг, входящих в данную вершину, и полустепень исхода P^- - число дуг, выходящих из данной вершины. Степень вершины ориентированного графа составит сумма полустепеней исхода и захода.

P(X_i)= P⁺(X_i)+P^-(X_i)

Если для некоторой вершины ориентированного графа полустепень захода некоторой вершины P⁺=0 и при этом полустепень исхода P^-¹0, то вершина называется входом графа.

Если для некоторой вершины ориентированного графа P^-=0, а P⁺¹0, то вершина называется выходом графа.

Рис. 2

Граф, изображенный на рис. 3.1.2, имеет один вход – вершину X₀

(P^-(X₀)=3 и один выход – вершину X₅ (P⁺(X₅)=2).

Число ребер графа N связано со степенями его вершин следующим соотношением:

N= ,

где n – число вершин графа. Отсюда следует справедливость следующих утверждений:

1) Сумма степеней вершин любого графа четна;

2) Для любого графа число вершин, имеющих нечетные степени, четно;

3) Для однородного графа, т.е. графа, все степени вершин которого одинаковы и равны r, N= ;

4) Для полного графа, т.е. графа, в котором каждая пара вершин соединена ребром или дугой, P(X_i)=n-1, а N= .

Некоторой противоположностью полному графу является нуль-граф, не имеющий ребер или дуг и состоящий из изолированных вершин. Очевидно, степени верши нуль-графа равны 0.

Связность

Граф называется связным, если множество его вершин нельзя разбить на два или более подмножеств так, чтобы ни одна вершины одного подмножества не отображалась в вершину другого. В противном случае граф называется несвязным. Число подмножеств всех вершин графа, называется числом компонент связности для несвязного графа.

Существует другое определение связности графа. Граф называется связным, если две любые его вершины можно соединить цепью. Граф (рис. 3.1.3) является несвязным с двумя компонентами.

Рис. 3.

Ребро графа называется перешейком, или связующей линией, если его удаление приводит к тому, что граф становится несвязным. На рис. 3.1.4 изображены три связных неориентированных графа, причем граф 1 не имеет ни одного перешейка, 2 содержит один перешеек (отмечен жирной линией), граф 3 целиком состоит из одних перешейков. Такой граф (3) называется деревом.

Рис. 4.