Истечение жидкости через малое отверстие при постоянном напоре

Отверстие называется малым, когда его вертикальный размер меньше 0,1 расчетного напора Н_р (понятие об Н_р приведено ниже): для круглого отверстия d_о<0,1Н_р (рис. 6.1) При таком условии можно считать, что давление и скорость жидкости во всех точках сечения малого отверстия одинаковы. Отверстие может быть выполнено в виде сверления в тонкой стенке (δ<0,67 Н_р) без обработки входной кромки или в толстой стенке, но с заостренными краями кромки с внешней стороны (рис. 6.2). Условия истечения жидкости в этих случаях будут одинаковы. Частицы жидкости приближаются к отверстию из всего объема, двигаясь ускоренно по плавным траекториям. Например, частицы жидкости, двигающиеся у вертикальной стенки к отверстию, должны повернуть на угол 90⁰ при выходе наружу. Поскольку частицы жидкости обладают массой и, соответственно, свойством инерционности, то они огибают входную кромку по некоторой кривой. Поэтому, на расстоянии l=(0,5…1,0)d_o образуется так называемое сжатие струи, т.е. площадь сечения струи S_с меньше площади отверстия S_o. Степень сжатия струи оценивается коэффициентом сжатия струи ε_о:

(6.1)

При истечении жидкости необходимо знать скорость и расход. Для этого составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2, приняв за плоскость сравнения горизонтальную плоскость, проходящую через ось отверстия:

(6.2)

где ζ_о – коэффициент сопротивления малого отверстия. Обозначим α₂=α, u₂=u, а р₂=р_вых (р_вых– давление на выходе из малого отверстия). Введем расчетный напор Н_р:

Тогда из уравнения (6.2) получим:

(6.3)

Окончательно, из уравнения (6.3) найдем скорость истечения струи:

(6.4)

где φ_о – коэффициент скорости малого отверстия:

(6.5)

Для гипотетического случая истечения идеальной жидкости ζ_о=0, а α=1. Тогда φ_о=1, а скорость истечения идеальной жидкости будет равна:

(6.6)

Формула (6.6) совпадает с формулой для расчета свободного падения тела в пустоте и называется формулой Торричелли. Анализ формул (6.4) и (6.6) показывает, что коэффициент скорости φ_о – это отношение скорости истечения вязкой жидкости к скорости истечения идеальной жидкости:

(6.7)

Коэффициент скорости φ_о всегда меньше единицы, поскольку скорость истечения идеальной жидкости u_и больше скорости истечения вязкой жидкости u из-за наличия гидравлического сопротивления: всегда ζ_о>0.

Поле скоростей в сечении струи является равномерным только в ядре струи, наружный слой жидкости имеет несколько меньшую скорость из-за трения об острую входную кромку малого отверстия. Скорость в ядре струи, как показывают опыты, практически равна идеальной u_и. Поэтому коэффициент φ_о является коэффициентом средней скорости.

Расход жидкости Q при истечении подсчитывают как произведение скорости струи на площадь ее сечения:

(6.8)

Произведение коэффициентов ε_о и φ_о называется коэффициентом расхода µ_о:

(6.9)

Тогда формулу (6.8) для расчета расхода Q можно записать в следующем виде:

(6.10)

Коэффициенты сжатия струи ε_о, сопротивления ζ_о, скорости φ_о и расхода µ_о зависят от числа Рейнольдса Re. Поскольку для расчета Re необходимо знать скорость истечения u, а для определения скорости u необходим коэффициент скорости φ_о, то принято использовать в расчетах число Рейнольдса, подсчитанное для идеальной скорости u_и:

(6.11)

Графические зависимости, составленные А.Д. Альтшулем на основе опытов различных авторов, приведены на рис. 6.3.