Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости и потока вязкой жидкости

Определим вначале мощность dN элементарной струйки в определенном живом сечении. Поскольку удельная энергия является энергией, отнесенной к единице веса жидкости, то

(5.9)

Мощность потока найдем путем интегрирования уравнения (5.9) по площади S:

(5.10)

Теоретически и экспериментально доказано, что для параллельноструйчатых или плавно меняющихся потоков гидростатический напор z+p/ρg есть величина, одинаковая для всех точек для всех точек определенного живого сечения потока, т.е. при движении элементарные струйки оказывают одна на другую в поперечном направлении такое же давление, как слои в покоящейся жидкости:

В дальнейшем будем рассматривать такие или близкие к ним живые сечения потока. С учетом этих допущений уравнение (5.10) примет вид:

(5.11)

Найдем среднее значение полной удельной энергии (полного напора) в данном живом сечении потока. С учетом зависимости (4.3) получим:

(5.12)

Умножим и разделим последний член уравнения (5.12)на квадрат средней скорости потока u²_ср:

где α – безразмерный коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения скоростей в живом сечении потока и равный:

(5.13)

Рассмотрим физическую сущность коэффициента Кориолиса. Для этого разделим и умножим зависимость (5.13) на ρ/2.

где е_кi – кинетическая энергия, которой обладает масса i-й элементарной струйки, прошедшая через данное живое сечение в единицу времени; Е_к.ср – кинетическая энергия, которой обладает масса потока жидкости, прошедшая через то же живое сечение в единицу времени, и подсчитанная по средней скорости.

Для ламинарного течения жидкости α_лам=2, для турбулентного α_турб=1,05…1,15 [1, с.102; 8,с. 140]. При турбулентном течении жидкости, чем выше число Рейнольдса, тем ближе к единице α_турб. Для Re > 10⁴ с достаточной степенью точности для технических расчетов можно считать α_турб=1. Различие в значениях α для ламинарного и турбулентного режимов течения жидкости связано с различными профилями скоростей при данных режимах (рис. 5.2). При ламинарном течении жидкости u_ср=0,5 u_mах, а при турбулентном – u_ср=(0,8…0,95) u_mах [2, с.55-57; 7, с. 46], поэтому такое различие в значениях α. Следует отметить, что для ламинарного режима величину α можно получить теоретически, используя уравнения параболы и кинетической энергии.

При движении вязкой жидкости, в отличие от идеальной, из-за неравномерного распределения скоростей происходит относительное скольжение слоев или частиц жидкости. Кроме того, во многих случаях происходит вихреобразование и перемешивание жидкости. Все это требует затрат энергии. Поэтому часть энергии, которым обладает поток жидкости, расходуется на преодоление гидравлических сопротивлений и, следовательно, полная энергия потока уменьшается в направлении движения. Строго говоря, потерь энергии не наблюдается, а происходит преобразование части энергии потока в тепловую энергию, которая потом рассеивается в окружающем пространстве. Это преобразование является безвозвратным, поэтому и используется термин «потери полной энергии потока или полного напора».

Рассмотрим два сечения потока вязкой жидкости 1-1 и 2-2 (рис. 5.3), полные напоры в этих сечениях равны Н_ср1 и Н_ср2. Тогда

(5.14)

где Σh_п – суммарные гидравлические потери полного напора между сечениями1-1 и 2-2.

Используя зависимость для расчета Н_ср, получим соответствующее уравнение:

(5.15)

Полученное уравнение (5.15) является уравнением Бернулли для потока вязкой жидкости. Данное уравнение применимо не только для жидкостей, но и для газов в тех случаях, когда скорость их движения значительно меньше скорости звука [3, с.47].

Графически уравнение Бернулли можно представить соответствующей диаграммой (рис. 5.4). В качестве примера рассмотрим потери напора при течении жидкости по горизонтальному трубопроводу, состоящего из трех участков различного диаметра. В начале трубопровода (сечение А-А) средний полный напор потока равен Н_срА. При движении жидкости от сечения А-А к сечению В-В происходит уменьшение полного напора, т.е. линия, характеризующая значение полного напора в любом сечении трубопровода (напорная линия), является падающей. Пьезометрический напор, в отличие от полного, в некоторых случаях может увеличиваться. Например, при внезапном расширении потока и, соответственно, уменьшении скоростного напора h_с происходит увеличение пьезометрического напора h_пз, т.е. Δh_с= u²_срА/(2g)- u²_срВ/(2g) переходит в пьезометрический напор.

При изменении геодезической высоты потока жидкости происходит изменение геометрического напора h_г=z, при этом геометрический напор переходит в пьезометрический напор и обратно. В потерянный напор переходит только пьезометрический напор, причем этот процесс является необратимым:

Уравнение Бернулли применимо не только для жидкостей, но и для газов в тех случаях, когда скорость их движения значительно меньше скорости звука и температура газа по длине не меняется (изотермический процесс)[1, с. 287-290; 3, с.47], т.е. при расчетах вентиляционных воздуховодов, газопроводов низкого давления.

В дальнейшем при проведении анализа физических явлений и процессов, связанных с движению потоков жидкости или газа, будем использовать, как правило, среднюю скорость. Поэтому для упрощения написания формул индекс ср опустим, подразумевая, что буквой u обозначается средняя скорость потока.