Поняття про сили інерції

Скориставшись динамометром /пружинною вагою/, зважимо деякий ван­таж. Взявши гирю, сила ваги якої 5 Н, підвісимо її до гачка ваги. Покази на шкалі - 5Н /рис. 28.І,а/.

При рівномірному підніманні ваги разом з гирею покази не змінюватимуться.

Коли ж вагу при зважуванні переміщати вгору з прискоренням, то покази будуть уже більшими /рис. 28.І,б/.

Дослідним шляхом можна встановити, що покази ваги збільшуватимуться пропорційно збільшенню прискорення. Зі зменшенням прискорення покази зменшуватимуться, а при , тобто при рівномірному русі, покази ваги відповідатимуть силі ваги гирі.

Сила протидії в боку точки, якій надається прискорення, називається си­лою інерції.

Сила інерції напрямлена в бік, протилежний напряму прискорення, і при­кладена до тіла, що надає прискорення.

Силу інерції, зображену на рис. 28.І, позначатимемо . Прикладена вона до гачка ваги, тобто в"язі, через яку гирі надається приско­рення.

Сила інерції дорівнює добутку маси матеріальної точки на її прискорення і у векторному вигляді:

(28.1 )

Модуль цієї сили можна визначити за формулою:

(28.1' )

- вектор прискорення;

де m- маса рухомої точки.

і повсякденному житті ми часто відчуваємо дію сили інерції на собі. Наприклад, при підніманні ліфта з прискоренням /на початку під­німання/ ми відчуваємо появу деякої "важкості" в ногах, і навпаки, на по­чатку опускання відчувається "полегшення". Відчуття ці тим сильніші, чим більші прискорення /сповільнення/ ліфта. Виходячи з виразу /28.І/ можна зробити висновок, що при підніманні ліфта з прискоренням сила інерції дорівнює силі ваги і людина, що піднімається в ліфті, відчуває подвійну силу ваги.

Отже при прямолінійному русі тіла із прискоренням сила інерції направлена вздовж лінії переміщення у бік протилежний прискоренню ( але не руху ).

У загальному випадку змінного криволінійного руху ( швидкість змінюється за величиною та напрямком ) силу інерції можна розкласти на складові дотичну ( чи тангенціальну ) , направлену у бік протилежний напряму дотичного прискорення і нормальну

(відцентрову) , напрямлену в бік, протилежний нормальному /доцентровому/ прискоренню _, тобто від центра кривини траєкторії.

На рис. 28.2 показано матеріальну точку масою m, що рухається зі змінною швидкістю по криволінійній траєкторії. Коли в розглядува­ний момент часу прискорення

дорівнюють і модулі сил інерції точки ви­значаються з виразів:

(28.2 )

(28.3 )

Повна сила інерції , що збігається з діагоналлю прямокутника, побудованого на і та її модуль можуть бути визначені за формулою

Ф=√(Ф_t)²+(Ф_n)² . ; (28.4 )

Для точки тіла, що здійснює обертальний руx

тому сили інерції можуть бути визначені за формулами:

(28.5 )

(28.6 )

Фізично відцентрову силу інерції можна відчути при обертанні ті­ла M/рис. 28.3/, прив"язаного до нитки. Коли нормальне прискорення , то на тіло діє доцентрова сила

a сам вантаж діє на нитку з відцентровою силою

Чим більша кутова швидкість нитки з тілом, тим більша Ф_n і тим сильніше натягується нитка.Очевидно, що можна розвинути таку швидкість обертання, за якої відцентрова сила інерції перевершить за величиною силу опору розриву нитки і ті­ло обірветься. В момент розриву дія сил Фg і Ф_n перестане впливати і тіло почне рухатися по дотичній до кола зі швидкіс­тю υ .

На дії відцентрової сили основано виконання "мертвої петлі" на літаку, мо­тогонки по вертикальній стіні, робота сепараторів для очищення пально­го й мастил від води і багато інших пристроїв.

Наведені приклади показують, що сили інерції є реальними силами, які активно діють на тіла, розтягують пружину ваги, розривають нитку при обертанні тіла і т.ін.

Про реальний прояв дії сил інерції можна говорити лише при наявності в"язів, через які надається тілу прискорення: при підніманні вантажу з прискоренням натяг нитки більший за силу ваги вантажу на величину сили інерції, під час здійснення "мертвої петлі" сила інер­ції вдавлює пілота в сидіння.

Сили інерції, що виникають при русі з прискоренням окремих час­тин машини /поршня, шатуна, колінчастого вала/, викликають в них до­даткові напруження, ї, крім того, вони змінюючись за величиною і на­прямом, можуть надавати машині ряд періодичних поштовхів, які згубно впливають на фундамент. Щоб запобігти цьому, сили інерції та їхні мо­менти повинні бути зрівноваженими.

Від розглянутого прикладу /рис. 28.З/ легко перейти до технічно­го прикладу, уявивши собі замість нитки спицю маховика, в замість ті­ла М - частину обода маховика. При доборі діаметра маховика необхід­но враховувати швидкість, що розвивається на ободі, бо коли вона буде більшою за допустиму, маховик під дією відцентрової сили може розір­ватися.

Задача 28.І.

Тіло масою 1,5 кг, прив’язане до нитки довжиною l= 0,7 м, обертається у вертикальній площині. Опір розриву нитки Fp= 66 Н. Визначити найменшу кутову швидкість, за якої нитка розір­веться.

Розв"язання. Найбільшого значення сила, що діє на нитку, сягати­ме в мить, коли тіло проходить нижнє положення по вертикалі, тому що при цьому відцентрова сила інерції додається до сили ваги тіла. _

Нитка розірветься при силі натягу Fp=Ф_n+G , тому сила
інерції в мить розриву повинна бути Ф_n=Fp-G=Fp-mg=66-1,5·9,81=51,28 Н.

Найменша кутова швидкість, що відповідає одержаному значенню Ф_n , визначається із формули

Ф_n= ω²mρ

Де ρ=l ,

Із формули ω=πn/30 знайдемо частоту обертання /об/хв/, за якої відбувається розрив нитки:

n=(30·ω)/π=(30·6,98)/3,14=67 об/хв.

Питання для самоконтролю:

Питання для самоконтролю

1. Що називають інертністю матеріальної точки ?

2. Що таке сила інерції матеріальної точки ?

3. У чому суть принципу Даламбера для матеріальної точки ?

4. Вказати напрямки сили інерції для прямолінійного та криволінійного рухі

Заняття 29

Тема: Сила інерції.

План

1. Принцип Герлама-Ейлера-Даламбера.

2.Метод кінетостатики та його застосування для розв’язання задач.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

Студенти повинні знати: визхначення сили інерції та її використання.

Студенти повинні вміти: визначати величину та напрямок сили інерції при криволінійному та прямолінійному русі. Застосовувати метод Даламбера для вирішення задач.

Але є багато таких інженерних задач динаміки, розв’язання яких методами ньютонівської механіки потребує дуже великих зусиль, а інколи і взагалі неможливе. В таких випадках користуються методами іншої, так званої аналітичної механіки, в основу яких покладено принципи, відмінні від ньютонівських. Засновником цієї вітки механіки був Лейбниць.

Аналітична механіка являє собою великий, багатий ідеями, розділ механіки. Її положення поширюються на такі області, як теорія відносності і квантова механіка, де закони Галілея-Ньютона не можуть бути застосовані.

Для спрощення, щоб не виходити за межі ньютоновської механіки, будемо розглядати ці принципи як такі, що є наслідками законів класичної механіки з додаванням до них аксіоми про звільнення від в’язей. В той же час потрібно розуміти, що це не теореми, які доводяться за допомогою законів Галілея-Ньютона, а саме принципи. Якщо взяти їх за основу, можна отримати і закони Ньютона, і всю ньютонівську механіку.

Розробниками основних принципів аналітичної механіки були французькі вчені Даламбер (1717-1783) і Лагранж (1736-1813).

Принцип Даламбера

Принцип Даламбера дозволяє приводити всі задачі, які відносяться до руху тіл, до більш простої задачі про рівновагу.

Сучасне трактування принципа Даламбера з використанням поняття сили інерції, яке було уведено в механіку на початку ХІХ століття, є фундаментом важливого метода технічної механіки – метода кінетостатики.

Розглянемо матеріальну точку М масою m, що рухається з деяким прискоренням вздовж траєкторії АВ. Припустимо, що на точку діє система активних сил, рівнодіючу яких позначимо через , а також реакції в’язей (у випадку якщо точка є невільною) з рівнодіючою (рис.4.1).

Тоді, згідно з рівнянням динаміки для невільної точки :

,

або (29.1)

Позначимо:

. (29.2)

Рис 29.1

Вектор називають даламберовою силою інерції. Її можна розглядати як силу, з якою точка діє на тіла, що надають прискорення даній точці.

Сила інерції матеріальної точки за величиною дорівнює добутку маси точки на модуль її прискорення і має напрям, протилежний напряму прискорення (але не руху).

Таким чином, рівність (29.1) набуває вигляду:

.

(29.3)

Останнє рівняння і виражає принцип Даламбера:

для невільної матеріальної точки в кожний момент часу сума активних сил, що прикладені до точки, реакцій її в’язей і сили інерції дорівнює нулю.

При координатному способі задання руху в системі відліку векторне рівняння (29.3) переходить в систему скалярних рівнянь:

(29.4)

Якщо ж рух точки задано натуральним способом, то будемо мати систему таких рівнянь:

(29.5)

В рівняннях (29.4) і (29.5) ; ; ;

- тангенціальна складова сили інерції;

- нормальна (відцентрова) сила інерції;

(рис.29.2).

Рис.29.2