Формула Ейлера для визначення критичної сили стиснутого стрижня
Припустимо, що під дією сили , величина якого трохи перевищує критичну силу , стрижень із шарнірно закріпленими кінцями (рис. 2,а) злегка зігнувся (рис. 2,б).
а | б |
Рис. 2. До визначення критичної сили стиснутого стрижня
Віднесемо скривлену вісь стрижня до прямокутної системи координат, вибравши початок координат у точці .
Припустимо, що критична сила не викликає в стрижні напружень, що перевищують границю пропорційності, і що розглядаються тільки малі відхилення від прямолінійної форми. Тоді для визначення критичної сили можна скористатися наближеним диференціальним рівнянням пружної лінії:
. | (3) |
Тут — найменший момент інерції перетину стрижня.
У розрахунок приймається найменша твердість стрижня , так як очевидно, що прогин відбудеться перпендикулярно до осі найменшої жорсткості, якщо решта умов для згину у всіх площинах однакові, як у розглянутому випадку.
На відміну від поперечного вигину при поздовжньому в правій частині цього рівняння варто ставити знак «мінус», так як абсолютна величина згинального моменту
, | (4) |
а знак прогину завжди протилежний знаку другій похідній, тобто знаки моменту й другої похідної протилежні при будь-якому напрямку .
Підставивши в рівняння (3) вираз (4) для згинального моменту, одержимо
, | (5) |
або
(6) |
Увівши позначення
(7) |
перепишемо рівняння (6) так:
(8) |
Ми одержали однорідне лінійне диференціальне рівняння, загальний інтеграл якого, як відомо, представляється гармонійною функцією
(9) |
Постійні інтегрування й повинні бути підібрані так, щоб задовольняти граничним умовам
З першої граничної умови виходить, що , тобто
(10) |
Із другої умови одержуємо
(11) |
Якщо допустити, що , то прогин буде тотожно дорівнювати нулю, тобто
Це рішення відповідає однієї з можливих форм рівноваги стиснутого стрижня, а саме — прямолінійній формі. Нас же цікавить значення сили , при якій стає можливої інша форма рівноваги — криволінійна. Тому що , те при скривленій формі стрижня повинне виконуватися рівність
Корінь цього рівняння може мати нескінченна безліч значень: , тобто
де — довільне ціле число.
Однак перший корінь відпадає, тому що він не відповідає вихідним даним задачі. Таким чином,
(12) |
Тоді з рівняння (14.7) одержимо вираз для стискаючої сили:
(13) |
Рівняння (13) являє собою формулу, уперше отриману Ейлером.
Практично нас цікавить найменше значення поздовжньої стискаючої сили, при якому стає можливим поздовжній згин. Найменше значення критичної сили одержимо при й :
(14) |
Вертаючись до рівнянь (10) і (12), одержимо рівняння вигнутої осі стрижня при малих деформаціях:
Найбільший прогин стрижня при . Тоді . Отже, рівняння пружної лінії стислого стрижня має вигляд
(15) |
Графік цієї залежності показано на рис. 3.
Максимум має місце при такому значенні , для якого , тобто , або .
Рис. 3. Пружна лінія стиснутого стрижня
Найменше значення аргументу, при якому косинус дорівнює нулю, буде , виходить , звідки
(16) |
Якщо , те , а максимум буде посередині стрижня, що відповідає так званому основному випадку, показаному на рис. 2.
Зі співвідношення (16) або з рівняння (15) і рис. 4 виходить, що являє собою число напівхвиль синусоїди, що розташовуються на довжині зігнутого стрижня.
Рис. 4. Різне число напівхвиль синусоїди
Дата добавления: 2016-01-26; просмотров: 2114;