Критичне напруження. Гнучкість. Границя застосування формули Ейлера.

Поняття про втрату стійкості при напруженнях, що перевищують границю пропорційності

Вивід формули Ейлера засновано на застосуванні диференційного рівняння пружної лінії. Тому скористатися цією формулою можна лише в тому випадку, якщо справедливо закон Гука, тобто поки критичне напруження (напруження стискання, що відповідає критичній силі) не перевищує границі пропорційності:

(21)

Дійсно, якщо прямолінійна форма стрижня залишається стійкої й при напругах, що перевищують межу пропорційності, то диференціальне рівняння (3), що припускає справедливість закону Гука, уже непридатно.

Виведемо формулу для критичного напруження . Відповідно до виражень (21) і (20)

(22)

Тут — квадрат найменшого з головних радіусів інерції стрижня;

— площа брутто поперечного переріза стрижня;

Увівши безрозмірну величину

(23)

Яку називають гнучкістю стрижня, остаточно одержимо

(24)

тобто критичне напруження стрижня залежить тільки від пружних властивостей матеріалу (модуля пружності ) і гнучкості стрижня .

Функціональна залежність (24) являє собою видозміну формули Ейлера. У системі координат ця залежність може бути представлена гіперболічною кривою, яку називають гіперболою Ейлера. Як приклад приведемо такий графік (рис. 14.10) для стрижня зі сталі марки СтЗ, для якої модуль пружності , границя текучості , а межа пропорційності . Графік показує, що в міру зростання гнучкості стрижня критичне напруження прагне до нуля, і навпаки, у міру наближення гнучкості стрижня до нуля критичне напруження прагне до нескінченності.

Рис. 9. Гіпербола Ейлера

Однак з умови (21) застосовності формули Ейлера відповідно до формули (24) маємо

і, отже,

(25)

Виходить, формула Ейлера стає непридатною при гнучкості стрижня, меншої граничного значення , що залежить тільки від властивостей матеріалу, тобто в розглянутому випадку при

Те ж можна одержати й графічно. Якщо на осі ординат відкласти величину межі пропорційності й провести з отриманої точки пряму, паралельну осі абсцис, то вона в перетинанні з гіперболою Ейлера дасть точку , абсциса якої і є . Ліворуч від точки гіпербола Ейлера показана штриховою лінією, тому що тут вона дає значення напружень, більше границі пропорційності, тобто не відповідним умовам її застосовності.

Однак явище поздовжнього згину продовжує існувати й за границею пружності. Досвідченим шляхом встановлено, що дійсні критичні напруження для стрижнів середньої й малої гнучкості нижче значень, певних по формулі Ейлера. Таким чином, у цьому випадку формула Ейлера дає завищені значення критичної сили, тобто завжди переоцінює дійсну стійкість стрижня. Тому використання формули Ейлера для стрижнів, що втрачають стійкість за межею пружності, не тільки принципово неправильно, але й украй небезпечно по своїх наслідках.

Теоретичне рішення задачі про стійкість за границею пропорційності складно, тому звичайно користуються емпіричними формулами, отриманими в результаті обробки великої кількості дослідних даних.

Ф. С. Ясинський зібрав і обробив великий дослідний матеріал по поздовжньому згину стрижнів, у результаті чого склав таблицю критичних напружень залежно від гнучкості для ряду матеріалів і запропонував просту емпіричну формулу для обчислення критичних напружень за межею пропорційності:

(26)

Значення коефіцієнтів і для деяких матеріалів дані в табл. 1.

Для чавуну користуються параболічною залежністю

(27)

де .

За цим даними для кожного матеріалу при можна побудувати графік залежності критичних напружень від гнучкості стрижня.

При деякому значенні гнучкості (позначимо його ) величина , обчислена по формулі (26) або (27), стає рівною граничній напрузі при стисканні, а саме: для пластичних матеріалів

а для крихких матеріалів

(28)

Стрижні, у яких , називають стрижнями малої гнучкості. Їх розраховують тільки на міцність.

Таблиця 1

Матеріал

Ст2, Ст3 Ст5 Сталь 40 Кремениста сталь Дерево (сосна) Чавун	29,3	1,14 3,26 1,16 3,82 0,194 12,00

У розглянутому прикладі (рис. 9) частина графіка критичних напружень за границею пропорційності (при ) уявляє собою злегка нахилену пряму , а частина (при ) — горизонтальну лінію . Отже, графік для сталі СтЗ складається із трьох частин: гіперболи Ейлера при , похилій прямій при й майже горизонтальній прямій при . Похила пряма відповідає напруженням між межею пропорційності й границею текучості. Горизонтальна пряма відповідає напрузі, рівній границі текучості.